摘要：在進(jìn)行齒輪激光測(cè)量時(shí)，激光束所在的空間直線通常穿過(guò)齒輪中心，測(cè)量值為激光位移傳感器至齒輪漸開線齒面的空間距離。但激光束與被測(cè)齒面法矢量的夾角過(guò)大，影響測(cè)量的精度和數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。因此，提出一種激光偏置的齒輪精密測(cè)量，使激光束相對(duì)齒輪軸線偏置一段距離，激光束與齒面測(cè)量點(diǎn)法矢量夾角減小，有效提高激光測(cè)量精度與穩(wěn)定性。計(jì)算出了最佳的偏置量范圍，通過(guò)檢測(cè)齒輪齒形分析了齒輪的齒距偏差和螺旋線偏差。利用理論推算與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法，得出該種測(cè)量方法測(cè)量精度可達(dá)到1μm，測(cè)量數(shù)據(jù)波動(dòng)小，適用于齒輪高精度測(cè)量。

　　目前，車輛、航天等傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的使用要求逐漸提高，傳統(tǒng)的齒輪加工與測(cè)量方式已不能滿足現(xiàn)代加工要求。為保證其齒輪使用的可靠性，需檢測(cè)齒輪各項(xiàng)誤差。目前常見(jiàn)的齒輪檢測(cè)方式分為接觸式 測(cè)量和非接觸式測(cè)量。前者依靠測(cè)頭與工件表面接觸，通過(guò)計(jì)算測(cè)頭與工件表面的相對(duì)位置來(lái)獲取工件表面多個(gè)點(diǎn)的空間位置。這種測(cè)量方式有測(cè)量范圍受測(cè)頭體積限制等弊端。非接觸式測(cè)量借助機(jī)器視覺(jué)技術(shù)和傳感器技術(shù)，成為近幾年齒輪測(cè)量的重要方法。機(jī)器視覺(jué)測(cè)量方法是提取被測(cè)零件圖像信息進(jìn)行處理分析的一種測(cè)量方法，涉及圖像的獲取、處理和分析。Sandak等提出的外觀缺陷檢測(cè)法可對(duì)齒輪的崩角、碰傷和劃傷進(jìn)行識(shí)別。楊云濤等利用邊緣檢測(cè)算子提取齒輪有效像素，形成輪廓。雖然視覺(jué)測(cè)量方法可以獲得齒輪的多項(xiàng)偏差并且通過(guò)改進(jìn)算法可以提高精度，但其測(cè)量方法的可靠性不高，工業(yè)相機(jī)的發(fā)展限制測(cè)量精度，測(cè)量過(guò)程依賴圖像識(shí)別的準(zhǔn)確度，由于受相機(jī)功能性發(fā)展限制和高性能相機(jī)的價(jià)格區(qū)間的限制，不能實(shí)現(xiàn)工業(yè)大規(guī)模的應(yīng)用。

　　近年來(lái)，激光位移傳感器在齒輪幾何精度、傳動(dòng)平穩(wěn)性檢測(cè)等方面被廣泛應(yīng)用，其具備精度高和測(cè)量迅速的優(yōu)點(diǎn)。激光通過(guò)齒輪中心測(cè)量時(shí)激光束與部分齒面法向夾角較大，形成不規(guī)則橢圓光斑，對(duì)于被測(cè)量目標(biāo)為復(fù)雜空間曲線，其曲率不斷變化，易導(dǎo)致測(cè)量精度波動(dòng)，影響了檢測(cè)精度，同時(shí)測(cè)量的準(zhǔn)確度也受光斑形狀、大小影響。被測(cè)面接近于平面時(shí)，激光束打在被測(cè)物體表面的光斑呈現(xiàn)出均勻的圓形，主要表現(xiàn)在齒根、齒頂?shù)臏y(cè)量中，此時(shí)齒廓法向量與激光束的夾角偏小接近0°，相當(dāng)于激光束垂直打在被測(cè)面上，此時(shí)激光束的測(cè)量精度不受影響;而被測(cè)面曲率不斷變化且存在較大高度差時(shí)，激光束打在被測(cè)物體表面的光斑為不均勻的近似橢圓形，此時(shí)齒廓法向量與激光束的夾角偏大接近90°，相當(dāng)于激光束切入被測(cè)表面，此時(shí)測(cè)量系統(tǒng)中非線性誤差增加，測(cè)量誤差較大。何凱等優(yōu)化了激光位移傳感器的安裝角度和安裝位置，對(duì)精度有一定提升，但存在測(cè)量過(guò)程中前齒遮擋激光的范圍較大、測(cè)量結(jié)果實(shí)際可用段較少的問(wèn)題。因此，需要研究出一種高效、高精度的齒輪激光測(cè)量方式，從而改善激光測(cè)量在齒輪測(cè)量中的缺陷。本文提出一種基于激光位移傳感器激光偏置的齒輪測(cè)量方法。激光束相對(duì)齒輪軸線偏置一段距離，使激光束與齒面測(cè)點(diǎn)法矢量夾角減小，大大提升了測(cè)量的精度和效率。同時(shí)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和數(shù)據(jù)處理，得到齒輪的各項(xiàng)偏差及綜合偏差。

　　一、齒輪激光精密測(cè)量設(shè)計(jì)原理

　　齒輪激光精密測(cè)量原理

　　齒輪激光測(cè)量所使用的激光位移傳感器原理上為三角測(cè)量法，如圖1所示，激光源發(fā)出的激光打到被測(cè)物體表面的 H₁點(diǎn)，H₀為參考平面上的一點(diǎn)，兩點(diǎn)在 CCD上成像分別為 M₁和 M₀。分別做 H₁、M₁ 到直線 H₀M₀的垂線，得到B、D。三角形 M₁DO 相 似于三角形 H₁BO，根據(jù)三角形相似法則，可求出 BH₁的距離，繼而求出y的距離。

　　當(dāng)測(cè)量位置由激光束通過(guò)齒輪的中心軸轉(zhuǎn)變成激光束偏離齒輪的中心軸時(shí)，被測(cè)點(diǎn)的實(shí)際位置與各個(gè)部分傳感器讀數(shù)所參考的已不是同一參考系。在進(jìn)行過(guò)中心齒輪測(cè)量時(shí)，激光束擊中齒面的受測(cè)點(diǎn)，激光位移傳感器和控制器讀出當(dāng)前點(diǎn)至該激光位移傳感器之間的位移量，通過(guò)組合編碼盤反饋當(dāng)前測(cè)量點(diǎn)的角度信息與零點(diǎn)編碼盤讀數(shù)的差值，就能夠反映出被測(cè)點(diǎn)的真實(shí)位置。但在進(jìn)行偏置測(cè)量時(shí)，兩者對(duì)應(yīng)的參考系并不是唯一的。因此，需要轉(zhuǎn)換坐標(biāo)來(lái)獲取當(dāng)前被測(cè)點(diǎn)的實(shí)際位置。

　　齒輪的激光精密測(cè)量原理如圖2所示。當(dāng)激光位移傳感器相對(duì)于齒輪中心的偏置量為一定值a，激光位移傳感器到齒面被測(cè)點(diǎn)的距離為d_測(cè)，激光位移傳感器到x 軸的距離為l，被測(cè)點(diǎn)到x 軸的距離為d=l-d_測(cè)。取任意兩點(diǎn)q_m 和q_n，其測(cè)量值是 q_m(d_測(cè)m，θ_m)、q_n(d_測(cè)n，θ_n)。以q_m為基準(zhǔn)，q_m與x 軸的夾角是arccos(a/r_m)，從q_m到q_n齒輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ_n-θ_m，q_n與y軸的夾角是arcsin(a/r_n)，所以 q_m和q_n的相對(duì)齒輪坐標(biāo)系夾角：

　　將測(cè)量結(jié)果轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程：

　　偏置量選擇原理

　　為找到合適的偏置位置，需對(duì)齒面和激光位移傳感器空間位置進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。如圖3所示，O_b是基圓圓心，H 為被測(cè)點(diǎn)，l₁為圓心與點(diǎn) H 的連線，l₂ 是漸開線的法線，基圓半徑為r_b，設(shè) H 點(diǎn)坐標(biāo)(x_H ，y_H)，漸開線轉(zhuǎn)過(guò)一定角度后基圓圓心是 O_b(-x₀，-y₀)，α_H是點(diǎn) H 處壓力角，k 為l₂的斜率，則齒廓法向量所在直線l₂可表示為：

　　偏置測(cè)量時(shí)，激光束沿x軸偏置一段距離為a，其齒廓法線與x 軸夾角為φ?？梢?jiàn)，當(dāng)k值越大，φ 值越大，齒廓法線與激光束夾角越小，測(cè)量值越穩(wěn)定;相反，當(dāng)夾角過(guò)大時(shí)，在測(cè)量過(guò)程中該夾角會(huì)在齒面漸開線處存在一個(gè)峰值，使得激光束接近于平行切入齒廓漸開線某處，加上測(cè)量激光束光斑形狀不規(guī)則，導(dǎo)致測(cè)量數(shù)據(jù)失效，增加其數(shù)據(jù)波動(dòng)性。因此，偏置量應(yīng)選擇一個(gè)合理的區(qū)間。偏置量的選擇要考慮多種因素。首先，需要考慮其最大影響因素：激光束與齒廓法向量夾角，這直接反映了測(cè)量數(shù)據(jù)有效性;其次，也需保證齒廓數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性;最后，應(yīng)減少整體測(cè)量存在的波動(dòng)性。通過(guò)這3個(gè)方面來(lái)考量偏置量的最佳位置。

　　考量激光束與齒廓法線夾角時(shí)，黃瀟蘋提出了一種物面傾角誤差，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得出，當(dāng)傾斜角度在5°以內(nèi)時(shí)，測(cè)量誤差可以控制在0.12mm，傾斜角在30°時(shí)最大測(cè)量位移誤差值已達(dá)0.5mm。可根據(jù)上述齒廓法線斜率k來(lái)判斷夾角大小。當(dāng) k值較小時(shí)，激光位移傳感器處于一種穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)k值增大時(shí)，激光位移傳感器的誤差值也逐漸增大。所以，需保持一個(gè)穩(wěn)定的區(qū)間。當(dāng)激光束與齒廓法線的夾角小于30°，k的絕對(duì)值應(yīng)大于。

　　考慮齒廓數(shù)據(jù)有效性，假設(shè)齒輪齒數(shù)是z，模數(shù)是 m，齒頂圓半徑r_a，齒根圓半徑r_f，分度圓半徑r，分度圓齒厚s，壓力角α，令α_測(cè)為測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)在齒廓有效部分所占的齒輪中心角，α_總為單側(cè)齒線所占齒輪中心角，齒頂所占齒輪中心角是：

　　考慮整體數(shù)據(jù)有效性時(shí)，其為測(cè)量過(guò)程合理性的量，需引入整體數(shù)據(jù)有效性來(lái)進(jìn)行判斷。D 為測(cè)量結(jié)果數(shù)據(jù)中的有效數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，D_總為測(cè)量結(jié)果全部數(shù)據(jù)點(diǎn)，則數(shù)據(jù)有效為：

　　二、齒輪激光精密測(cè)量偏差分析

　　齒距偏差分析

　　在齒距偏差分析之前，需要處理其測(cè)量數(shù)據(jù)。因?yàn)橥ㄟ^(guò)直接測(cè)量獲取的數(shù)據(jù)并不是被測(cè)點(diǎn)相對(duì)于齒輪中心的實(shí)際空間位置，所以需要預(yù)處理數(shù)據(jù)，獲取正對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)，將偏置坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成以被測(cè)齒輪為中心的坐標(biāo)系。經(jīng)過(guò)處理的數(shù)據(jù)分析方法和正常測(cè)量的數(shù)據(jù)偏差分析方法是相同的。首先就是對(duì)其齒輪展開角進(jìn)行計(jì)算，其任意數(shù)據(jù)點(diǎn)在其坐標(biāo)系的展開角bi是：

　　式中：Y_i是其任意點(diǎn)脈沖數(shù);Y₁為第一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的脈沖數(shù);Y_n為其最后一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的脈沖數(shù)。

　　通過(guò)擬合的齒廓與分度圓間交點(diǎn)來(lái)找到測(cè)量數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)點(diǎn)極坐標(biāo)數(shù)據(jù)展開，使用二分法計(jì)算，在其分度圓處收斂，可找到樣條曲線擬合的齒廓和分度圓之間的任意兩個(gè)相鄰的交點(diǎn) P_i-1和 P_i。則齒距可表述為：

　　式中：r_m為分度圓半徑;(x_i，y_i)(x_i-1，y_i-1)為迭代后插值點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)。

　　螺旋線誤差分析

　　圖4是螺旋線誤差分析原理圖。需要多組測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行螺旋線誤差分析。圖中3組齒線為不同高度但偏置量相同情況下獲取的3組數(shù)據(jù)，為找到同一齒下的3組數(shù)據(jù)，對(duì)該齒數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，找到其與理論分度圓之間的交點(diǎn)，即可獲得該齒面上分度圓柱面上的3個(gè)點(diǎn)，再對(duì)3個(gè)點(diǎn)進(jìn)行擬合，推導(dǎo)得出螺旋線誤差。

　　設(shè)所擬合的直線方程為z=b₀ +b₁y，3個(gè)點(diǎn)到該直線的偏差平方和：利用最小二乘法，偏差平方和對(duì)b_i求導(dǎo)，得到方程組：

　　三、齒輪激光精密測(cè)量實(shí)驗(yàn)

　　實(shí)驗(yàn)步驟

　　齒輪激光精密測(cè)量平臺(tái)的三維圖如圖5所示，該測(cè)量平臺(tái)由工件回轉(zhuǎn)臺(tái)、夾緊裝置、下頂尖、中心軸、上頂尖、工件回轉(zhuǎn)臺(tái)升降滑臺(tái)、測(cè)頭滑臺(tái)導(dǎo)軌、偏置滑臺(tái)直線電機(jī)、Z 軸導(dǎo)軌、測(cè)頭滑臺(tái)驅(qū)動(dòng)電機(jī)、Z 軸驅(qū)動(dòng)電機(jī)和激光位移傳感器構(gòu)成。在中心定位心軸上安裝有中心孔的齒輪，中心定位芯軸通過(guò)上下頂尖固定，下面裝有一個(gè)回轉(zhuǎn)盤，當(dāng)采用夾緊裝置時(shí)，中心定位芯軸會(huì)隨著旋轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)。由控制卡、激光位移傳感器的控制器與計(jì)算機(jī)進(jìn)行連接，通過(guò)計(jì)算機(jī)控制編碼盤的旋轉(zhuǎn)、三坐標(biāo)位移裝置的平移運(yùn)動(dòng)和傳感器的開關(guān)并記錄讀數(shù)。

　　如圖6所示，在芯軸上安裝了被測(cè)齒輪，激光測(cè)量傳感器相對(duì)于齒輪中心偏置一定的距離。進(jìn)行測(cè)量時(shí)，齒輪以一定速比勻速旋轉(zhuǎn)，工件回轉(zhuǎn)盤上編碼盤記錄此時(shí)齒輪上被測(cè)點(diǎn)的角度脈沖數(shù)據(jù)，同時(shí)激光位移傳感器采集被測(cè)點(diǎn)相對(duì)于激光束發(fā)生點(diǎn)的位移數(shù)據(jù)，齒輪的角度位移數(shù)據(jù)通過(guò)測(cè)量軟件輸出到文件中。

　　測(cè)量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

　　以齒數(shù)為30、法面模數(shù)為3、螺旋角為20°的斜齒圓柱齒輪任一測(cè)量結(jié)果曲線為例，進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。該測(cè)量的偏置量為23，如圖7所示，圖中灰線段為測(cè)量數(shù)據(jù)的可視化結(jié)果，黑線段為對(duì)灰線進(jìn)行轉(zhuǎn)化的可視化結(jié)果。橫坐標(biāo)為測(cè)量系統(tǒng)的脈沖數(shù)，工件旋轉(zhuǎn)1周360°為100萬(wàn)個(gè)脈沖量;縱坐標(biāo)軸為測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)到工件旋轉(zhuǎn)中心的距離，即激光位移傳感器示數(shù)向齒輪中心的轉(zhuǎn)換結(jié)果。從圖7中可以看出，轉(zhuǎn)化前的黑線偏斜，齒廓漸開線處的測(cè)量脈沖占比 明顯高于正常占比，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化后偏斜消除，單側(cè)齒廓處符合實(shí)際齒廓的尺寸形狀。

　　最佳偏置值選定

　　以齒數(shù)為30、法面模數(shù)為3、螺旋角為20°的斜齒圓柱齒輪為例，根據(jù)齒輪參數(shù)設(shè)置了14組不同偏置量對(duì)照試驗(yàn)，分別為17、18、19、20、21、22、23、24、 25、26、27、28、29、30。圖8為不同偏置量得到的測(cè)量數(shù)據(jù)結(jié)果圖。圖9為偏置量分別為17、24、30的 3 種情況下的測(cè)量圖形。可以看出，偏置量較小，測(cè)量過(guò)程中齒根有一定占比，漸開線齒廓的有效測(cè)量段數(shù)據(jù)點(diǎn)較少。隨著偏置量的增大，圖形中漸開線齒廓的有效測(cè)量段數(shù)據(jù)點(diǎn)增多，測(cè)量圖形在漸開線處變緩，齒根處的數(shù)據(jù)點(diǎn)減少且在測(cè)量圖形中占比變小。當(dāng)偏置量持續(xù)增大，測(cè)量過(guò)程中前齒對(duì)后齒的遮擋增加，齒根處被逐漸遮擋，直到測(cè)量數(shù)據(jù)直接從漸開線齒廓開始，經(jīng)過(guò)齒頂圓后直接繼續(xù)測(cè)量到漸開線齒廓部分。

　　在試驗(yàn)選取的偏置量中，齒側(cè)齒廓的測(cè)量只有最后一組有前齒遮擋現(xiàn)象。通過(guò)有效數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判定齒廓數(shù)據(jù)的有效性。在測(cè)量數(shù)據(jù)中，齒側(cè)齒廓部分以數(shù)據(jù)從齒根圓半徑測(cè)量的平均數(shù)+10%齒全高開始計(jì)數(shù)，到齒頂圓半徑測(cè)量的平均數(shù)-10%齒全高結(jié)束，得出以下數(shù)據(jù)。如表1所示，偏置值選擇和齒廓有效數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)正相關(guān)，在合理的偏置值范圍內(nèi)，偏置值選取得越大，齒廓有效數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)越多，偏置值選取得越小，齒廓有效數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)越少。但在偏置值大于29時(shí)也存在一定問(wèn)題，即激光束越過(guò)齒頂，從齒根處開始后齒的測(cè)量時(shí)，高度偏差較大，數(shù)據(jù)波動(dòng)增加，此時(shí)該測(cè)量點(diǎn)與齒側(cè)距離較短，易影響后齒的測(cè)量，使后齒有效測(cè)量范圍縮短。

　　結(jié)合圖1和表1，偏置值在23～29之間測(cè)量，各組測(cè)量數(shù)據(jù)中有效數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多，數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，激光束打在齒廓上的光斑形狀聚集。其中偏置值為29時(shí)，激光束與齒廓法線夾角最小，在前齒不遮擋的條件下有效數(shù)據(jù)點(diǎn)最多，符合理論選定的最佳偏置值。

　　齒輪激光精密測(cè)量偏差分析試驗(yàn)

　　對(duì)偏置量為23的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行齒距偏差分析和螺旋角偏差分析。

　　進(jìn)行齒距偏差分析時(shí)，對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，通過(guò)樣條曲線連接數(shù)據(jù)點(diǎn)，用二分法迭代找出分度圓與樣條曲線的交點(diǎn)，相鄰交點(diǎn)間的距離是單齒距;單齒距與公稱齒距之差為偏差。任意多個(gè)齒距的累積為累積偏差。表2為部分單個(gè)齒距偏差與齒距累積偏差，圖 10 給出了該被測(cè)齒輪的全部 20個(gè)單個(gè)齒距偏差，圖11給出了該齒輪累積偏差圖形。根據(jù)30組實(shí)驗(yàn)得出該齒輪的最大齒距偏差為0.02155mm，最小齒距偏差為0.00269mm，最大齒距累計(jì)總偏差為0.02977mm。

　　已知該齒輪螺旋角為20.5739°，通過(guò)對(duì)3組齒輪不同截面上測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換后，計(jì)算出樣曲線與分度圓的交點(diǎn)。同一齒上3個(gè)點(diǎn)擬合直線方程，通過(guò)最小二乘法確定直線方程的斜率k值，最后計(jì)算出螺旋角。表3列出部分齒的螺旋角計(jì)算值。

　　以上的試驗(yàn)結(jié)果證明，偏置式測(cè)量方法適用于齒輪精密測(cè)量，對(duì)齒輪的齒距和螺旋線偏差都有較好的效果。

　　四、結(jié)論

　　基于偏置式測(cè)量原理，研究一種齒輪激光偏置測(cè)量方法，通過(guò)將激光束移動(dòng)一個(gè)偏置量，解決了對(duì)中式的齒輪激光測(cè)量所帶來(lái)的失效問(wèn)題。通過(guò)建立偏置量的選擇模型，明確偏置位置，建立數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方程，完成測(cè)量試驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析。本文研究的測(cè)量方法有以下特點(diǎn)：

　　(1)采用激光位移傳感器的齒輪激光偏置測(cè)量方法，不僅具有激光測(cè)量方法的優(yōu)點(diǎn)，而且克服了常規(guī)激光測(cè)量的一些缺點(diǎn)。這種測(cè)量方法無(wú)須規(guī)劃測(cè)頭的運(yùn)動(dòng)軌跡，也不需要復(fù)雜的算法來(lái)補(bǔ)償測(cè)頭半徑，不會(huì)產(chǎn)生磨耗問(wèn)題，使用靈活，不受限于測(cè)頭尺寸，測(cè)量效率高。解決了激光測(cè)量在齒側(cè)齒廓上激光束與漸開線相切的數(shù)據(jù)失效問(wèn)題，從而獲取更多齒側(cè)齒廓的有效數(shù)據(jù)點(diǎn)。

　　(2)通過(guò)數(shù)據(jù)處理的方法和誤差分析方法解決了激光測(cè)頭測(cè)量坐標(biāo)系和工件坐標(biāo)不一致的問(wèn)題，簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)分析過(guò)程，提高測(cè)量效率。