摘要：為研究刀具幾何參數(shù)和切削參數(shù)對(duì)齒面偏差的影響規(guī)律，首先針對(duì)車齒工藝雙自由度嚙合特性，建立車齒工藝運(yùn)動(dòng)學(xué)模型;然后根據(jù)車齒車齒加工過(guò)程中刀具與工件的空間位置關(guān)系和運(yùn)動(dòng)關(guān)系，推導(dǎo)求得刀具切削刃空間軌跡曲面參數(shù)模型;采用離散數(shù)值方法獲得齒面偏差模型;最后分析了軸向進(jìn)給量、刀具前角、刀具螺旋角對(duì)最大齒面偏差的影響程度。結(jié)果表明減小軸向進(jìn)給量、增大刀具螺旋角可以有效減小最大齒面偏差。

　　相較于插齒、銑齒等傳統(tǒng)內(nèi)齒輪加工方法，車齒具有材料去除率高、成形精度好等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)具備實(shí)現(xiàn)精加工的潛能，可以進(jìn)一步縮短加工鏈，降低能耗。但車齒由于獨(dú)特的加工特性，成形齒面會(huì)呈現(xiàn)出波紋狀的進(jìn)給刀痕，影響齒面質(zhì)量，阻礙了其精加工應(yīng)用。因此，研究車齒加工誤差影響因素，降低成形齒面波紋誤差是推廣車齒工藝發(fā)展，實(shí)現(xiàn)齒輪高效加工的關(guān)鍵。

　　目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)車齒工藝進(jìn)行了大量研究，并且在車齒工藝原理、刀具設(shè)計(jì)、切屑成形機(jī)理、加工誤差等方面取得了一定成果。針對(duì)車齒加工精度的問(wèn)題，Guo研究了刀具運(yùn)動(dòng)偏心誤差對(duì)車齒加工精度的影響，研究結(jié)果表明工件齒面出現(xiàn)的進(jìn)給刀痕的切深與刀具的運(yùn)動(dòng)偏心有關(guān)，進(jìn)而在較大程度上影響著工件的齒向和齒形誤差。Maximilian提出了一種計(jì)算車齒成形齒面微觀形貌的數(shù)學(xué)模型，并基于該模型探討了不同軸向進(jìn)對(duì)齒面微觀形貌的影響規(guī)律以及對(duì)齒輪噪聲的影響。吳震宇針對(duì)軸交角誤差的存在影響車齒精度的問(wèn)題，詳細(xì)對(duì)比分析了無(wú)進(jìn)給、刀具進(jìn)給和工件進(jìn)給三種不同進(jìn)給方式以及不同軸交角誤差方向?qū)圐X加工誤差的影響程度。楊亞蒙根據(jù)車齒運(yùn)動(dòng)學(xué)原理建立了機(jī)床幾何位姿誤差與車齒成形齒面法向誤差的映射關(guān)系，研究了各項(xiàng)幾何位姿誤差對(duì)法向誤差的影響程度。

　　本文采用數(shù)值仿真的方法建立了齒面誤差模型，首先基于車齒工藝?yán)碚摵妄R次坐標(biāo)變換原理，根據(jù)刀具和工件的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系建立了刀具切削刃空間軌跡曲面幾何數(shù)學(xué)模型;然后采用離散網(wǎng)格方法計(jì)算得到齒面法向誤差形貌;最后分析了軸向進(jìn)給量、刀具前角、刀具螺旋角對(duì)最大齒面偏差的影響程度。該模型可以為車齒工藝參數(shù)優(yōu)化、刀具幾何設(shè)計(jì)等研究提供支撐。

　　一、車齒工藝原理

　　加工外齒輪時(shí)車齒刀與工件的相對(duì)位置與運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖 1 所示。車齒工藝的五個(gè)切削參數(shù)對(duì)應(yīng)機(jī)床的五種運(yùn)動(dòng)：車齒刀的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是車齒加工中的主運(yùn)動(dòng)，在車齒加工過(guò)程中車齒刀以恒定轉(zhuǎn)速 ω_c(rad/min)繞軸線連續(xù)回轉(zhuǎn);工作與車齒刀按照一定的傳動(dòng)比關(guān)系同步回轉(zhuǎn)以保證兩者正確嚙合從而獲得正確的齒形，在車齒加工過(guò)程中工件以恒定轉(zhuǎn)速 ω_w(rad/min)繞軸線連續(xù)回轉(zhuǎn);工件沿軸線軸向進(jìn)給加工出齒輪齒寬，描述軸向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)的參數(shù)為 v(mm/min);安裝中心距 a 由機(jī)床切削運(yùn)動(dòng)調(diào)整決定;為了保證車齒刀與工件在節(jié)圓柱面上的螺旋線相切，需要將車齒刀的軸線相對(duì)于工件端面偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度 Σ 進(jìn)行交錯(cuò)安裝。

　　安裝中心距 a 的大小由車齒刀分度圓半徑 r_c 與工件分度圓半徑 r_w 決定：

　　式中：“+”用于外齒輪嚙合車齒加工;“-”用于內(nèi)齒輪嚙合車齒加工。本文建立的模型為車齒加工外齒輪模型，此時(shí)安裝中心距 a 的大小為 r_c+r_w。

　　車齒刀與工件軸線之間的傾斜角被成為軸交角，軸交角 Σ 與車齒刀分度圓螺旋角 β_c 和工件分度圓螺旋角 β_w 有關(guān)，三者關(guān)系為：

　　式中：當(dāng)加工外齒輪時(shí)，“+”用于車齒刀和工件的螺旋方向一致，“-”用于車齒刀和工件的螺旋方向相反;當(dāng)加工內(nèi)齒輪時(shí)，“+”用于車齒刀和工件的螺旋方向相反，“-”用于車齒刀和工件的螺旋方向一致。本文模型中車齒刀和工件均為右旋，因此軸交角 Σ 的大小為 β_c+β_w。

　　在實(shí)際車齒加工過(guò)程中，軸向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)的引入破壞了工件與車齒刀原本的傳動(dòng)關(guān)系，因此在加工具有螺旋角的齒輪時(shí)，工件或車齒刀還需要額外增加一個(gè)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)以形成齒輪齒槽螺旋線，這個(gè)運(yùn)動(dòng)被稱為差動(dòng)運(yùn)動(dòng)，用 Δω 表示。若通過(guò)在工件上增加差動(dòng)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)工件完整的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)如下所示：

　　與機(jī)床結(jié)構(gòu)一致，共設(shè)置 5 個(gè)坐標(biāo)系與各運(yùn)動(dòng)部組相對(duì)應(yīng)：O_h-x_hy_hz_h 為車齒刀安裝坐標(biāo)系，是和車齒刀初始位置重合的固定坐標(biāo)系;O₂-x₂y₂z₂ 為工件參考坐標(biāo)系，是和工件初始位置重合的固定坐標(biāo)系;O₁-x₁y₁z₁ 為車齒刀參考坐標(biāo)系，與工件參考坐標(biāo)系相互平行;O_c-x_cy_cz_c 為車齒刀固連的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系;O_w-x_wy_wz_w 為與工件固連的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。

　　根據(jù)齊次坐標(biāo)變換原理，車齒刀坐標(biāo)系和工件坐標(biāo)系之間可以通過(guò)變換矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)換。設(shè)車齒刀切削刃曲線已知，表示在車齒刀坐標(biāo)中為 M=[x(u)，y(u)，z(u)，1] ^T，通過(guò)齊次坐標(biāo)變換，可以得到切削刃運(yùn)動(dòng)形成的空間軌跡曲面在工件坐標(biāo)系 O_w-x_wy_wz_w 中齊次坐標(biāo)方程為：

　　式中：M_hc、M_1h、M₂₁、M_w2 分別表示從車齒刀坐標(biāo)系到車齒刀安裝坐標(biāo)系、車齒刀安裝坐標(biāo)系到車齒刀參考坐標(biāo)系、車齒刀參考坐標(biāo)系到工件參考坐標(biāo)系、工件參考坐標(biāo)系到工件坐標(biāo)系的變換矩陣，其完整形式如下：

　　二、車齒成形齒面幾何數(shù)值仿真計(jì)算

　　車齒加工齒面成形過(guò)程分析

　　車齒加工實(shí)質(zhì)是車齒刀與工件按照給定傳動(dòng)比做同步回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，由分布在車齒刀上的切削刃根據(jù)運(yùn)動(dòng)關(guān)系在空間中掠過(guò)生成一系列軌跡曲面，稱為掃掠面，掃掠面依次與工件相交并切除材料，最終形成了加工齒輪的表面形貌。

　　齒面包絡(luò)波紋誤差計(jì)算方法

　　理想漸開線圓柱齒輪的齒面可視為一條標(biāo)準(zhǔn)漸開線繞齒輪軸線做螺旋創(chuàng)成運(yùn)動(dòng)形成的空間漸開面。以漸開線展開角 θ 為參數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)漸開線的參數(shù)方程表示為：

　　式中：r_b 為工件齒輪基圓半徑。

　　設(shè) M(Δ)表示漸開線生成漸開面的的齊次變換矩陣，以標(biāo)準(zhǔn)漸開線沿齒輪軸線的位移量 ζ 為參數(shù)，齒輪理論齒面的齊次坐標(biāo)方程 F(θ，ζ)如式(6)所示：

　　式中：△包括漸開線做螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)與位移量ζ 對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度和獲得齒槽寬的齒面張角。

　　式中：α_τ 為工件端面壓力角。

　　齒面包絡(luò)波紋誤差是沿理論齒面 F(θ，ζ)上一點(diǎn)的法向計(jì)算的，即齒面的法向誤差，理論齒面 F(θ，ζ)的法向量計(jì)算公式為：

　　本文采用離散網(wǎng)格法計(jì)算齒面包絡(luò)波紋誤差，具體方法如下：將理想齒面 F(θ，ζ)的參數(shù) θ 與 ζ 在其取值范圍內(nèi)離散形成網(wǎng)格，網(wǎng)格區(qū)域面積設(shè)置為 m×l，步長(zhǎng)設(shè)置為 Δθ 與 Δζ。用上標(biāo) m、l 對(duì)網(wǎng)格上離散點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，F(xiàn)(θ，ζ) 在離散點(diǎn)(θ^m，ζ^l)的法向矢量表示為 nⁱ(θ ^m，ζ ^l)，其法向誤差表示為 hⁱ(θ^m，ζ ^l)。

　　圖 2 為法向誤差計(jì)算示意圖，由圖中可知，理想齒面 F(θ，ζ)上離散點(diǎn)(θ^m，ζ^l)的法向矢量 nⁱ(θ^m，ζ^l)會(huì)先后穿過(guò)不同的掃掠面，因此法向誤差值需分別計(jì)算 F(θ，ζ)的法向量與各個(gè)掃掠面之間的法向距離，取其中的最小值即為齒面的法向誤差值 hⁱ(θ^m，ζ^l)。

　　三、齒面包絡(luò)波紋誤差影響因素分析

　　影響車齒加工質(zhì)量的因素有很多，主要包括刀具幾何參數(shù)、切削參數(shù)、設(shè)備因素、環(huán)境因素等。本文對(duì)車齒加工過(guò)程中不同軸向進(jìn)給量 f、刀具螺旋角 β_c 和刀具前角 γ₀ 下成形齒面微觀形貌進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，車齒刀和工件的設(shè)計(jì)參數(shù)如表 1 和表 2 所示。

　　各車齒工藝參數(shù)對(duì)齒面法向誤差的影響規(guī)律如圖 3、圖 4 所示。由圖可知，在試驗(yàn)參數(shù)范圍內(nèi)，保持刀具螺旋角或刀具前角不變的情況下，隨著軸向進(jìn)給量的增大，齒面最大法向誤差值 R_max 隨之增大，且變化幅值較大。這是由于軸向進(jìn)給量的增加會(huì)導(dǎo)致刀具每齒切削厚度增大，波紋誤差的波距變大，刀齒在單位時(shí)間內(nèi)切除材料的體積隨之上升，切削力隨之增大，故表面粗糙度增加，表面形貌變差。

　　由圖 3 可知，隨著刀具螺旋角的增大，齒面最大法向誤差值 R_max 隨之減小，且變化幅值較大。這是由于刀具螺旋角增大，軸交角隨之增大，增大軸交角可以提高刀刃切削性能，改善切削條件，從而降低表面粗糙度。但軸交角增大會(huì)減小接觸區(qū)域?qū)挾?，過(guò)大的軸交角反而會(huì)對(duì)加工精度產(chǎn)生不利影響，因此實(shí)際加工時(shí)需要綜合考慮多種因素以選擇合理的軸交角。

　　由圖 4 可知，隨著刀具前角的增大，齒面最大法向誤差值 R_max 出現(xiàn)振蕩趨勢(shì)，但是振幅比較小且沒有明顯變化，可以認(rèn)為刀具前角對(duì)理論加工誤差影響較小，基本可以忽略不計(jì)。

　　四、結(jié)論

　　本文為了研究車齒工藝中加工誤差的影響因素，通過(guò)分析車齒工藝原理，建立了車齒加工過(guò)程中切削刃空間軌跡曲面數(shù)學(xué)參數(shù)模型，然后采用離散網(wǎng)格方法計(jì)算了齒面包絡(luò)誤差，在此基礎(chǔ)上分析車齒工藝參數(shù)對(duì)齒面包絡(luò)波紋誤差的影響程度。本研究得到如下結(jié)論：①軸向進(jìn)給量和刀具螺旋角對(duì)齒面包絡(luò)波紋誤差有較顯著的影響，刀具前角對(duì)包絡(luò)波紋誤差的影響較小;②通過(guò)增大刀具螺旋角或者減小軸向進(jìn)給量可以提高車齒加工精度。

　　參考文獻(xiàn)略.