摘要：文章基于 SolidWorks 軟件提出一種漸開線斜齒圓柱齒輪(斜齒輪)三維建模的通用參數(shù)化設(shè)計(jì)方法。該方法利用 SolidWorks 軟件的基本功能，先設(shè)置 19 個(gè)全局變量，然后用方程式驅(qū)動(dòng)的曲線分別創(chuàng)建掃描的路徑和輪廓，再通過掃描切除和圓周陣列，最終得到漸開線斜齒輪的三維精確模型;該方法在得到漸開線部分精確曲面的同時(shí)，得到了齒根過渡部分的精確曲面，由此推導(dǎo)出了漸開線斜齒輪的基圓槽寬半角、基圓半徑、導(dǎo)程和漸開線起始圓壓力角的表達(dá)式。此方法具有簡(jiǎn)單、快捷、精度高、方便修改等優(yōu)點(diǎn)，為機(jī)械產(chǎn)品的快速設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

　　斜齒輪有以下優(yōu)點(diǎn)：①齒面接觸線是斜線，一對(duì)齒逐漸進(jìn)入和脫離嚙合，傳動(dòng)平穩(wěn)、噪聲小、宜高速傳動(dòng);②重合度較大，并且重合度會(huì)隨齒寬和螺旋角的增大而增大，承載能力高;③最小齒數(shù)較少，機(jī)構(gòu)更緊湊。因此，斜齒輪的應(yīng)用非常廣泛，而其模型的建立也是機(jī)械產(chǎn)品數(shù)字化設(shè)計(jì)的重要組成部分。

　　SolidWorks 軟件是一個(gè)機(jī)械設(shè)計(jì)自動(dòng)化應(yīng)用程序，具有三維建模等功能。近十幾年來，關(guān)于漸開線斜齒輪在 SolidWorks 軟件環(huán)境下的三維建模的相關(guān)文獻(xiàn)有很多;有的用樣條曲線等做了近似處理; 有的在 CAXA 電子圖版中生成平面的漸開線齒形草圖;有的通過 C 語言編程或 MATLAB 或 Microsoft Excel 計(jì)算齒面的坐標(biāo)數(shù)據(jù);有的利用 GearTrax 插件進(jìn)行建模;有的利用 Visual Basic 對(duì) SolidWorks 進(jìn)行了二次開發(fā)。這些方法普遍都比較復(fù)雜，而且有些要依賴外部軟件、插件?；诖耍P者直接利用 Solid? Works 軟件的基本功能，包括設(shè)置全局變量和方程式驅(qū)動(dòng)的曲線等，得到漸開線斜齒輪的三維模型;另外還推導(dǎo)出了漸開線斜齒輪的基圓槽寬半角、基圓半徑、導(dǎo)程和漸開線起始圓壓力角的表達(dá)式。SolidWorks 建模具有簡(jiǎn)單、快捷、精度高、方便修改等優(yōu)點(diǎn)，為機(jī)械產(chǎn)品的快速設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

　　一、建模思路

　　漸開線斜齒輪在任意一個(gè)橫截面(垂直于軸線的平面)中的參與嚙合的齒廓都可以用漸開線函數(shù)表示，其左側(cè)或右側(cè)的漸開線齒廓的形狀僅由基圓半徑?jīng)Q定，分度圓上的齒厚或齒槽寬則受到基圓槽寬半角或者法向變位系數(shù)的直接影響。斜齒輪在任意兩個(gè)橫截面中的齒廓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的。從一個(gè)起始橫截面開始，旋轉(zhuǎn)的角度是隨著橫截面離起始橫截面的距離均勻變化的，因此斜齒輪可以用起始橫截面的齒廓和導(dǎo)程完全定義。另外，齒數(shù)為 z 的斜齒輪，它的 z 個(gè)齒槽的齒廓是關(guān)于斜齒輪的軸線旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的，且角度位置也是等間距的，相鄰的兩個(gè)齒槽相差角度為 360°/ z。因此文章考慮先用掃描切除得到一個(gè)齒槽，具體步驟為：①創(chuàng)建起始橫截面的齒廓，作為掃描切除的輪廓;②創(chuàng)建半徑不變、角度隨高度均勻變化且導(dǎo)程為規(guī)定值的螺旋線，作為掃描切除的路徑;③掃描切除。最后再通過等間距的圓周陣列得到所有的齒槽。

　　二、建模步驟

　　輸入全局變量

　　在 SolidWorks 中，進(jìn)入“菜單→工具→方程式”，按表 1 所列，輸入各全局變量。注意“角度方程單位”要在“度數(shù)”和“弧度”之間選擇“弧度”。

　　在這 19 個(gè)全局變量中，作為參數(shù)需要輸入數(shù)值的是齒數(shù) z、法向壓力角 a、螺旋角 b、法向變位系數(shù) x、法向模數(shù) m、旋向 hand(右旋為 1，左旋為-1)、齒槽中心的角度位置 th、齒頂高系數(shù) ha、齒根高系數(shù) hf和滾刀的齒頂圓角 rho。其余的全局變量按上表中的方程式自動(dòng)求解。下面給出部分較復(fù)雜的全局變量的表達(dá)式的推導(dǎo)過程。

　　基圓槽寬半角 etab 表達(dá)式的推導(dǎo)：按文獻(xiàn)，端面分度圓上的齒槽寬為(π/ 2-2x_t tan α_t)m_t，其中 x_t 為端面變位系數(shù)、α_t 為端面壓力角、m_t 為端面模數(shù);分度圓上的半徑為 齒槽寬的角度為 2( etab + tan α_t -α_t);端面分度圓上的齒槽寬也可以通過分度圓半徑乘齒槽寬的角度得到，即：

　　導(dǎo)程 pz 表達(dá)式的推導(dǎo)可按文獻(xiàn)，考慮把分度圓上的圓柱和螺旋線展開在平面上，得到一個(gè)直角三角形，其中和軸線平行的直角邊的長(zhǎng)度為導(dǎo)程 pz，和軸線垂直的直角邊的長(zhǎng)度為 π 乘分度圓直徑 d，而斜邊和平行于軸線的直角邊的夾角就是螺旋角 b，故：

　　漸開線起始圓壓力角 ag 表達(dá)式的推導(dǎo)可按文獻(xiàn)，漸開線起始圓壓力角 α_G 需滿足：

　　創(chuàng)建齒頂圓柱特征

　　以 Z 軸為軸線，以齒頂圓直徑 da 為直徑創(chuàng)建一個(gè)圓柱特征，如圖 1 所示，可以用“旋轉(zhuǎn)” 也可以用 “拉伸”進(jìn)行創(chuàng)建。

　　創(chuàng)建掃描的路徑

　　創(chuàng)建一個(gè)3D 草圖，在此 3D 草圖中創(chuàng)建一條“方程式驅(qū)動(dòng)的曲線”，如圖 2 所示。其參數(shù)方程式如表 2 所列，其中 t 為參數(shù)。

　　這里創(chuàng)建的曲線即螺旋線。其軸線為 Z 軸，起始的角度為 th，導(dǎo)程為 pz，半徑為齒根圓半徑，df/2。事實(shí)上，這里半徑不管是取齒根圓半徑還是齒頂圓半徑，只要半徑保持定值，掃描切除的效果都是一樣的，即任意一個(gè)橫截面中的齒廓和起始橫截面的齒廓都旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，齒廓旋轉(zhuǎn)的角度隨高度按 pz 的導(dǎo)程均勻變化。

　　創(chuàng)建掃描的輪廓

　　創(chuàng)建掃描的輪廓步驟如下。

　　(1)以“前視基準(zhǔn)面” (即包含 X 軸和 Y 軸的平面)為草圖平面創(chuàng)建一個(gè)草圖。

　　(2)在步驟(1)中的草圖中創(chuàng)建一條“方程式驅(qū)動(dòng)的曲線”，即左側(cè)齒面的漸開線，注意方程式類型要在“顯性” 和“參數(shù)性” 中選擇“參數(shù)性”。其參數(shù)方程式如表 3 所列，其中 t 為參數(shù)。

　　(3)在步驟(1)中的草圖中創(chuàng)建一條“方程式驅(qū)動(dòng)的曲線”，即右側(cè)齒面的漸開線，注意方程式類型要在“顯性” 和“參數(shù)性” 中選擇“參數(shù)性”。其參數(shù)方程式如表 4 所列，其中 t 為參數(shù)。

　　這里步驟(2)、(3)中創(chuàng)建的兩條曲線都是漸開線。齒槽中心的角度位置是 th，利用基圓槽寬半角的定義可知，左側(cè)的漸開線與基圓的交點(diǎn)的角度位置是 th+etab，右側(cè)的漸開線與基圓的交點(diǎn)的角度位置是 th -etab。按文獻(xiàn)，左側(cè)的漸開線曲線上，參數(shù)為 t的點(diǎn)的角度位置為 tan(t) -t+th+etab，和軸線的距離為 rb / cos(t)，其中 t 為正值，它就等于該點(diǎn)的壓力角; 而在右側(cè)的漸開線曲線上，參數(shù)為 t 的點(diǎn)的角度位置為 tan(t)-t+th-etab，和軸線的距離為 rb / cos(t)，其中 t 為負(fù)值，它等于該點(diǎn)的壓力角的相反數(shù)。

　　(4)在步驟(1)中的草圖中創(chuàng)建一條“方程式驅(qū)動(dòng)的曲線”，即左側(cè)齒面的齒根過渡曲線，注意方程式類型要在“顯性” 和“參數(shù)性” 中選擇“參數(shù)性”。其參數(shù)方程式如表 5 所列，其中 t 為參數(shù)。

　　(5)在步驟(1)中的草圖中創(chuàng)建一條“方程式驅(qū)動(dòng)的曲線”，即右側(cè)齒面的齒根過渡曲線，注意方程式類型要在“顯性” 和“參數(shù)性” 中選擇“參數(shù)性”。其參數(shù)方程式按表 6 所列，其中 t 為參數(shù)。

　　齒根過渡曲線的表達(dá)式較復(fù)雜，尤其是斜齒輪，因此很多文獻(xiàn)都用圓弧近似處理。雖然齒根過渡部分不參與斜齒輪的嚙合運(yùn)動(dòng)，但是它對(duì)于斜齒輪的輪齒根部的彎曲應(yīng)力等具有重要影響。文章繪制了精確的斜齒輪的齒根過渡曲線。

　　以右側(cè)齒面的齒根過渡曲線的表達(dá)式為例，有：

　　參數(shù) t 的取值范圍是從法向壓力角 a 到 π/2。此表達(dá)式是引用文獻(xiàn)中的表達(dá)式并令其中的分錐角為零得到的。

　　(6)在步驟(1)中的草圖中，以原點(diǎn)為圓心，以齒根圓直徑 df為直徑創(chuàng)建一段圓弧，即齒根圓弧，連接步驟(4)和(5)中創(chuàng)建的兩條齒根過渡曲線。

　　(7)連接步驟(2)和(3)中創(chuàng)建的兩條漸開線的兩個(gè)外側(cè)的端點(diǎn)并創(chuàng)建一段圓弧使輪廓閉合，如圖 3 所示。

　　注意，這里漸開線內(nèi)側(cè)的端點(diǎn)，即參數(shù) t 為 ag 或 -ag 的點(diǎn)，是和同側(cè)的齒根過渡曲線外側(cè)的端點(diǎn)，即參數(shù) t 為 a 的點(diǎn)剛好重合的(它就是漸開線起始點(diǎn))，才能保證草圖輪廓的閉合性。

　　創(chuàng)建“掃描切除”的特征

　　創(chuàng)建一個(gè)“掃描切除”特征，在“輪廓掃描”和“實(shí) 體掃描”中選擇“輪廓掃描”。選擇“掃描切除”的輪廓為圖 3 所示的草圖，選擇“掃描切除”的路徑為圖 2 所示的 3D 草圖。掃描切除后的結(jié)果如圖 4 所示。

　　創(chuàng)建“圓周陣列”的特征

　　創(chuàng)建一個(gè)“圓周陣列”的特征，其“陣列軸”選擇Z 軸，“角度” 輸入 360°，“實(shí)例數(shù)” 輸入齒數(shù) z 的數(shù)值，并在“等間距”前面勾選?！耙嚵械奶卣鳌边x擇 2.5 節(jié)創(chuàng)建的“掃描切除”。至此，整個(gè)斜齒輪的建模就完成了，結(jié)果如圖 5 所示。

　　三、結(jié)語

　　文章直接利用SolidWorks 軟件的基本功能，包括設(shè)置全局變量和方程式驅(qū)動(dòng)的曲線等，得到漸開線斜齒輪的三維模型。

　　此方法沒有依賴外部軟件、插件或二次開發(fā)，只需在全局變量中修改相應(yīng)的輸入?yún)?shù)，就可以快速得到相應(yīng)參數(shù)的漸開線斜齒輪的三維精確模型。此方法不僅創(chuàng)建了漸開線部分的精確曲面，還創(chuàng)建了齒根過渡部分的精確曲面(齒根過渡部分對(duì)于斜齒輪的輪齒根部的彎曲應(yīng)力等具有重要影響)。所以與以往文獻(xiàn)相比更快捷、更方便修改、更精確，為斜齒輪零件進(jìn)一步的模擬裝配、干涉檢查、運(yùn)動(dòng)仿真、有限元分析等奠定了基礎(chǔ)。

　　參考文獻(xiàn)略.