針對(duì)變速箱多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生的噪聲問(wèn)題，以非線性動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)，對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)與控制。以某變速箱一檔齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立動(dòng)力學(xué)微分方程，對(duì)其分岔特性與穩(wěn)定性進(jìn)行研究，得到位移相圖和 poincare 圖，分析了激勵(lì)頻率、功率、嚙合阻尼對(duì)齒輪系統(tǒng)分岔特性和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響。結(jié)果表明，在保證系統(tǒng)傳遞效率的前提下，轉(zhuǎn)速不變時(shí)選擇較大的功率與適當(dāng)提高嚙合阻尼對(duì)分岔特性有積極影響，可以弱化混沌運(yùn)動(dòng)，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，為變速箱齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)分析奠定理論基礎(chǔ)。

　　齒輪作為典型的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，是裝載機(jī)變速箱的重要組成部分，相比于其他傳動(dòng)方式具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳輸距離短和效率高的優(yōu)點(diǎn)。雖然齒輪傳動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)很突出，但是其傳動(dòng)時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的振動(dòng)和噪音。

　　隨著齒輪的非線性動(dòng)力學(xué)理論研究的發(fā)展，進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)建模分析已成為研究齒輪振動(dòng)的重要手段。通過(guò)非線性齒輪振動(dòng)理論，分析齒輪系統(tǒng)的分岔特性，選擇合理的優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)工程的實(shí)際應(yīng)用具有指導(dǎo)意義，因此有必要針對(duì)變速箱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行分析研究。

　　目前齒輪動(dòng)力學(xué)研究現(xiàn)狀，王昕等采用質(zhì)量集中法建立了一對(duì)齒輪的非線性動(dòng)力學(xué)模型，得到系統(tǒng)在兩種不同齒側(cè)間隙函數(shù)下的非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果，表明了側(cè)隙對(duì)振動(dòng)的影響很明顯。張柳、吳訓(xùn) 成等針對(duì)單對(duì)斜齒輪副動(dòng)力學(xué)模型，研究了嚙合剛度，齒距誤差兩種影響因素對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響變化，結(jié)果表明嚙合剛度越大，振動(dòng)增大越緩慢，齒距誤差主要影響軸向的振動(dòng)。徐燚等對(duì)于單對(duì)斜齒輪系統(tǒng)，研究了側(cè)隙對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響，分析結(jié)果表明：高速重載時(shí)相比于高速輕載時(shí)受側(cè)隙影響較小。鈄奕軼等詳細(xì)分析了斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的分岔特性，結(jié)果表明，合理選擇系統(tǒng)的參數(shù)，才能更好地保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

　　為了能夠準(zhǔn)確對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)與控制，有必要對(duì)其分岔特性與穩(wěn)定性進(jìn)行研究。因此，以某變速箱一檔齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)微分方程為研究對(duì)象，研究其不同參數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)分岔特性和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響。

       一、非線性動(dòng)力學(xué)理論

　　分岔理論

　　某些運(yùn)動(dòng)有確定的規(guī)律，但在不同因素的影響下，會(huì)發(fā)生無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)叫做混沌運(yùn)動(dòng)。混沌運(yùn)動(dòng)存在于非線性系統(tǒng)中，其運(yùn)動(dòng)形式可以用微分方程表示，并且通常將高階微分方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組進(jìn)行處理。對(duì)于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，我們可以求解微分方程的振動(dòng)響應(yīng)去分析運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

　　分岔理論對(duì)于非線性方程的表達(dá)式為：

　　式中：u— 方程參變量。

　　對(duì)于固定系統(tǒng)，u 是固定值，但通常來(lái)說(shuō)，u 若變化，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)也可能發(fā)生變化，當(dāng) u 變化時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)在周期與混沌之間發(fā)生變化，這種現(xiàn)象就叫做分岔。突變值 u0 為分岔點(diǎn);不引起分岔的其他點(diǎn)為常點(diǎn)。

　　在研究分岔問(wèn)題時(shí)，研究系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)隨著參數(shù) u 變化的圖形，稱之為分岔圖。若曲線變化從一條變?yōu)槎鄺l，稱為分岔運(yùn)動(dòng)，若從多條變?yōu)橐粭l，則系統(tǒng)發(fā)生倒分岔運(yùn)動(dòng)。當(dāng)分岔圖中為一條曲線時(shí)，系統(tǒng)通常為周期運(yùn)動(dòng);若在某段區(qū)間變化為多條曲線，通常為多周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)為一條較粗的曲線時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)多為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)在某段區(qū)間為無(wú)數(shù)點(diǎn)的集合時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)。本文選擇了某變速箱的一檔進(jìn)行研究，如圖 1 所示。

　　一檔傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

　　一檔變速箱傳動(dòng)系統(tǒng)為三級(jí)齒輪傳動(dòng)，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)各級(jí)齒輪副基本參數(shù)如表 1。

　　一檔傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖 2。

　　根據(jù)牛頓第二定律，齒輪 Z₁ ，Z₂ 的動(dòng)力學(xué)方程如下：

        二、傳動(dòng)系統(tǒng)分岔特性分析

　　行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分為單周期狀態(tài)、多周期狀態(tài)與混沌狀態(tài)三大類。當(dāng)其處于單周期狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)，振動(dòng)較小，有利于延長(zhǎng)齒輪的運(yùn)動(dòng)壽命;當(dāng)其處于多周期狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)行參數(shù)會(huì)隨著周期變化而變化，導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)波動(dòng)或出現(xiàn)不可預(yù)測(cè)的跳躍現(xiàn)象;當(dāng)其處于混沌狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)做無(wú)規(guī)則的跳躍，其運(yùn)行軌道不可預(yù)測(cè)，系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲因其混沌而增大，嚴(yán)重影響齒輪傳動(dòng)的壽命。對(duì)此，我們應(yīng)該盡可能使齒輪傳動(dòng)處于單周期穩(wěn)定狀態(tài)。由于系統(tǒng)受到多個(gè)參數(shù)的影響，本文選擇激勵(lì)頻率、功率及嚙合阻尼等重要參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的分岔特性和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究，選擇合理的參數(shù)使系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn) ，延長(zhǎng)使用壽命。

　　激勵(lì)頻率對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)分岔特性的影響

　　激勵(lì)頻率的改變主要依靠齒輪系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)速，選擇逐漸增加齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的太陽(yáng)輪輸入轉(zhuǎn)速，觀察位移的變化量，分析齒輪系統(tǒng)的隨激勵(lì)頻率變化的全局分岔特性，結(jié)果如下圖所示。圖 3 為內(nèi)外嚙合線位移變化圖，為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的全局分岔特性，圖 4 為太陽(yáng)輪橫向振動(dòng)的分岔特性圖，圖 5 為內(nèi)齒圈的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分岔特性圖。

　　由圖 3-圖 5 可知，行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)隨著激勵(lì)頻率的變化，表現(xiàn)出豐富完整的分岔特性。當(dāng)激勵(lì)頻率大于 0.1 小于 0.2 時(shí)，此時(shí)齒輪的無(wú)量綱振動(dòng)位移出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，隨著激勵(lì)頻率有規(guī)律的增加，系統(tǒng)的無(wú)量綱振動(dòng)位移分岔圖出現(xiàn)連續(xù)散點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)為單周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)激勵(lì)頻率大于 0.55 小于 1.13 時(shí)，系統(tǒng)又進(jìn)入混沌狀態(tài);隨后又出現(xiàn)短暫的單周期運(yùn)動(dòng)，并在 1.24 處發(fā)生跳躍現(xiàn)象，并再次出現(xiàn)混沌現(xiàn)象后進(jìn)入準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài);內(nèi)嚙合線的等效位移的分岔特性具有相似的現(xiàn)象，在此不再贅述。太陽(yáng)輪橫向振動(dòng)分岔特性與內(nèi)齒圈扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分岔特性與嚙合線上的分岔特性變化相似，只是在 1.24 處沒(méi)有跳躍現(xiàn)象。

　　功率對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)分岔特性的影響

　　設(shè)齒輪系統(tǒng)的輸入功率為 50 kW，控制變量保持其余參數(shù)指標(biāo)一致，研究改變不同輸入功率時(shí)，討論對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)分岔特性的影響，計(jì)算結(jié)果如圖 6-圖 8 所示。

　　由圖 6-圖 8 所示的位移變化量可推出當(dāng)系統(tǒng)輸入功率較低時(shí)，行星齒輪的內(nèi)外嚙合線方向上的無(wú)量綱位移在較大的區(qū)域內(nèi)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，系統(tǒng)極不穩(wěn)定。按照等值增加的規(guī)律逐漸改變輸入功率的增大，系統(tǒng)逐漸進(jìn)入單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且振動(dòng)幅值基本保持不變;太陽(yáng)輪橫向振動(dòng)分岔特性與內(nèi)齒圈扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分岔特性在單周期運(yùn)動(dòng)期間存在激變現(xiàn)象。

　　由上述分析可知，行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在不同的載荷作用下，系統(tǒng)所表現(xiàn)出的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性有所不同，因此可以總結(jié)出合理工作的數(shù)值范圍，根據(jù)載荷和轉(zhuǎn)速對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的分岔特性影響規(guī)律，在不影響傳遞效率的前提下，選擇合適的轉(zhuǎn)速和載荷，使系統(tǒng)盡量避開(kāi)混沌運(yùn)動(dòng)的數(shù)值范圍和盡可能運(yùn)行于穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，有利于維持系統(tǒng)的穩(wěn)定，提高工作效率，有效降低齒輪的振動(dòng)和噪聲，延長(zhǎng)使用壽命 。

　　嚙合阻尼對(duì)高重合度行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)分岔特性的影響

　　當(dāng)轉(zhuǎn)速 sp = 0.5 時(shí)，控制變量保持其余參數(shù)指標(biāo)一致，只改變系統(tǒng)的嚙合阻尼比系數(shù)，研究阻尼對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)分岔特性的影響，其無(wú)量綱位移變化計(jì)算結(jié)果如圖 9-圖 11 所示。

　　由圖 9 可知，齒輪嚙合阻尼從 0 等值 0. 02 增加到 0. 18，行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的無(wú)量綱位移隨著嚙合阻尼的改變而改變，外嚙合線的等效位移由混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。阻尼系數(shù)大于 0 小于 0.054 時(shí)，系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，隨著阻尼的增加，嚙合線的等效位移混沌運(yùn)動(dòng)逐漸收斂為單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，未呈現(xiàn)周期和混沌運(yùn)動(dòng)之間的激變現(xiàn)象，內(nèi)嚙合線的等效位移的分岔特性具有相似的現(xiàn)象，阻尼對(duì)內(nèi)外嚙合線方向上的無(wú)量綱位移基本保持相同的變化規(guī)律。由圖 10 和圖 11 的變化分析可知，隨著嚙合阻尼的等值 0.02 增加，太陽(yáng)輪的橫向振動(dòng)位移由混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)入周期二運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)倒分岔進(jìn)入單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài);在嚙合阻尼等于 0.01 時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。隨著阻尼系數(shù)的增加，系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)榈怪芷诙\(yùn)動(dòng)，當(dāng)阻尼繼續(xù)增加時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入單運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

        三、結(jié)論

　　本文主要介紹了齒輪動(dòng)力學(xué)非線性動(dòng)力學(xué)，研究了幾個(gè)重要參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)分岔特性的影響，得到以下結(jié)論：

　　1)激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)的分岔特性影響比較顯著，相對(duì)來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)速越小，系統(tǒng)的響應(yīng)越穩(wěn)定。當(dāng)轉(zhuǎn)速不變的情況下，輸入功率決定輸入扭矩的大小，由于功率較小時(shí)系統(tǒng)發(fā)生混沌響應(yīng)，應(yīng)該選擇較大的功率。

　　2)取較大的嚙合阻尼能夠明顯降低齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，因此，在實(shí)際運(yùn)用中，可以選擇阻尼較大的材料。在較大的剛度條件下，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，所以在保證齒輪正常運(yùn)行的情況下，選擇較小的剛度值。

　　參考文獻(xiàn)略.