齒向修形可有效地減小齒輪的嚙合沖擊及消除嚙合偏載情況，針對齒向任意修形齒輪的精密加工問題，提出了一種連續(xù)展成磨削運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法。首先，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)螺旋齒面及齒向修形曲線，通過改變端面廓形的螺旋運(yùn)動軌跡建立齒向修形齒面模型; 接著，考慮左右齒面接觸跡高度差，根據(jù)雙面磨削時實(shí)際的左右齒面修形量計(jì)算對應(yīng)的 X、Y 軸附加運(yùn)動量，再將附加運(yùn)動疊加至砂輪的標(biāo)準(zhǔn)磨削運(yùn)動軌跡上，建立齒向修形齒輪連續(xù)展成磨削的運(yùn)動軌跡規(guī)劃模型; 最后，在蝸桿砂輪磨齒機(jī)上開發(fā)齒向任意修形功能模塊，并進(jìn)行對稱齒向修形和任意非對稱齒向修形齒輪磨削實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了提出的連續(xù)展成磨削運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法的正確性。

　　齒輪在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于存在著制造誤差、安裝誤差和受載變形等因素，齒輪的嚙合過程會產(chǎn)生嚙入嚙出沖擊、偏載、振動和噪聲等現(xiàn)象。通過對齒輪的齒向進(jìn)行修形，可以有效地減小齒輪的嚙合沖擊，并降低嚙合時的偏載情況，從而提高齒輪使用壽命?，F(xiàn)階段幾乎所有的高速、重載、低噪的齒輪都需要進(jìn)行齒向修形。修形齒輪加工時的刀具運(yùn)動軌跡規(guī)劃較標(biāo)準(zhǔn)螺旋齒面更為復(fù)雜，需要根據(jù)齒向修形后的齒面螺旋線規(guī)劃刀具的加工運(yùn)動軌跡，滿足齒面的對稱齒向修形和任意非對稱齒向修形加工需求。

　　齒向修形是指沿齒寬方向有意識地微量修整齒面，使實(shí)際齒面偏離理論齒面的修形方法。Walker針對齒輪接觸狀態(tài)下的應(yīng)力集中問題，率先提出對直齒輪進(jìn)行齒向修形，以此改善其接觸特性并提高齒輪的承載能力。Yoshino 等提出了一種通過補(bǔ)償?shù)姆绞綄ι拜喞魏湍ハ魑恢眠M(jìn)行調(diào)整的方法，實(shí)現(xiàn)了齒輪成形磨削時的齒向修形。Shih 等針對五軸數(shù)控成形磨齒機(jī)，提出了一種高階修正的方法實(shí)現(xiàn)齒向修形。在國內(nèi)，魏延剛等結(jié)合齒輪傳動的特點(diǎn)，對漸開線直齒輪進(jìn)行了齒向修形設(shè)計(jì)，并使用有限元方法論證了齒向修形可以有效避免齒輪嚙合時的邊緣效應(yīng)。宋樂明研究了國外鼓形齒的修形標(biāo)準(zhǔn)，給出了鼓形修形量的具體計(jì)算公式。郭二廓等建立了齒向修形誤差評價數(shù)學(xué)模型，通過調(diào)整砂輪和工件安裝參數(shù)對接觸線進(jìn)行優(yōu)化，提高了成形磨齒時的齒向修形精度。汪中厚等根據(jù)成形磨齒的嚙合關(guān)系，結(jié)合實(shí)際齒向修形曲線推導(dǎo)了齒面接觸線方程，并利用多組接觸線進(jìn)行曲面擬合，構(gòu)建了齒向修形曲面模型。

　　綜上所述，國內(nèi)外研究學(xué)者對齒輪的齒向修形技術(shù)已經(jīng)建立了較為完善的理論體系。但現(xiàn)階段齒輪齒向修形技術(shù)的研究重點(diǎn)在于修形齒面的優(yōu)化設(shè)計(jì)和分析上，而面向?qū)嶋H的連續(xù)展成磨削方法的研究還較少，很難為齒向任意修形齒輪的精密加工提供技術(shù)支撐。

　　一、齒向任意修形齒面理論建模

　　標(biāo)準(zhǔn)螺旋齒面建模

　　從螺旋齒面形成原理出發(fā)，建立標(biāo)準(zhǔn)螺旋齒面的方程(圖 1) 。首先在空間建立一個固定的坐標(biāo)系 S₀ (O₀-x₀，y₀，z₀ ) ，如圖 1a 所示，則齒輪的端面型線 Γ 的坐標(biāo)方程為:

　　式中: θ 為齒輪端面型線的參變量。

　　令端面型線 Γ 繞 z₀ 軸做螺旋運(yùn)動，即型線繞 z₀ 軸轉(zhuǎn)動角度 φ 的同時，沿 z₀ 軸移動距離 pφ。此時，端面型線 Γ 在空間上形成的軌跡曲面就是標(biāo)準(zhǔn)螺旋面。圖 1b 中，S₁( O₁-x₁，y₁，z₁ ) 表示型線 Γ 螺旋運(yùn)動后的坐標(biāo)系，由 S₀ 到 S₁ 的坐標(biāo)變換用矩陣為:

　　將式(1) 代入式(2) 得到螺旋齒面表達(dá)式:

　　式中: φ 為端面型線 Γ 的螺旋運(yùn)動參變量; p 表示螺旋參數(shù)，p =導(dǎo)程/(2π) ，它的意義為型線 Γ 繞 z₀ 軸轉(zhuǎn)動單位角度的同時，沿 z₀ 軸移動的距離。

　　齒向修形后的齒面建模

　　在建立的標(biāo)準(zhǔn)齒面模型基礎(chǔ)上，對端面廓形的螺旋運(yùn)動軌跡進(jìn)行修形，形成齒向修形齒面。齒向修形曲線可以是修正的圓柱螺旋線，或其他的任意修形曲線。由于齒向鼓形修形曲線設(shè)計(jì)簡單，修形效果較為直觀，故以鼓形修形曲線為例建立修形齒面模型(圖 2) 。

　　圖 2a 表示齒輪端面廓形沿齒向修形后的螺旋線運(yùn)動形成的修形齒面示意圖，分度圓上的齒向鼓形修形曲線如圖 2b 所示。修形的鼓點(diǎn)為齒寬中部，修形量為 0，齒輪的上、下端面處修形量最大。修形量的大小與齒寬位置的關(guān)系函數(shù)為:

　　式中: x 為在齒寬方向上的位置; y 表示修形量。

　　根據(jù)齒向修形齒面的形成原理，采用附加運(yùn)動的方式建立修形齒面方程。首先根據(jù)齒向修形曲線計(jì)算齒輪在齒寬方向上各端截面處的修形量，該修形量為修形前后齒輪端截面廓形的位置偏差; 再根據(jù)各截面處修形量的大小改變齒輪廓形的位置，如圖 3 所示; 最終的修形齒面由所有截面上的齒輪廓形構(gòu)成。

　　齒向修形時，齒輪廓形在標(biāo)準(zhǔn)螺旋運(yùn)動的基礎(chǔ)上，再附加一個繞齒輪軸線的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動半徑為齒輪的分度圓半徑。因?yàn)樾扌瘟恳话爿^小，可將附加轉(zhuǎn)動的弧長近似為與修形量對應(yīng)的廓形移動長度。

　　式中: Φ 為齒輪端面廓形的附加轉(zhuǎn)動量; r 為齒輪的分度圓半徑。

　　由于附加運(yùn)動的存在，圖 1b 中，由 S₀ 到 S₁ 的坐標(biāo)變換矩陣為:

　　聯(lián)立式(1) 和式(6) ，得到最終的齒向修形齒面方程。

　　式中: x'₁、y' ₁、z' ₁ 表示齒向修形齒面在齒輪坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。

　　二、連續(xù)展成磨削運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法

　　典型的數(shù)控蝸桿砂輪磨齒機(jī)床結(jié)構(gòu)如圖 4 所示，連續(xù)展成磨削齒向修形齒輪時，齒輪的齒向修形可通過改變蝸桿砂輪的磨削運(yùn)動軌跡實(shí)現(xiàn)。蝸桿砂輪沿齒輪的附加徑向運(yùn)動(X 軸的運(yùn)動) 及沿齒輪的附加切向運(yùn)動 (Y 軸的運(yùn)動) 都可改變包絡(luò)出的齒輪廓形的位置。以齒輪分度圓處的齒向修形量為基準(zhǔn)，分別討論 X 軸和 Y 軸的附加運(yùn)動量與齒向修形量之間的關(guān)系。將蝸桿砂輪看做是一把齒條刀具，其軸截面廓形近似為直線。

　　圖 5 中，P_a 為齒向修形后的齒輪端截面廓形，P_b 為修形前的齒輪端截面廓形，齒輪在該端截面處的齒向修形量為 δ_n，則對應(yīng)的齒輪端截面廓形的偏移量為 δ_τ。

　　則 X 軸的附加移動量 Δx 與修形量之間的關(guān)系為:

　　式中: β 為齒輪的螺旋角; α_τ 為齒輪的端面壓力角。

　　齒條刀具沿 X 軸方向移動 Δx 后，其左右齒廓相對于齒輪的偏移量相同，因此 X 軸附加移動在齒輪齒槽的左右齒面廓形上產(chǎn)生相同的修形量。

　　(2) Y 軸附加移動量

　　圖 6 表示 Y 軸的附加移動與包絡(luò)出的齒輪廓形間的關(guān)系。則 Y 軸的附加移動量 Δy 與修形量之間的關(guān)系為:

　　由于齒輪與齒條刀在分度圓處做純滾動，因此 Y 軸的附加移動量 Δy 等于齒輪端截面廓形的偏移量 δ_τ。由于 C 軸和 Y 軸在齒輪轉(zhuǎn)動過程中具有定比例的運(yùn)動關(guān)系，可將 Y 軸的附加移動量換算為 C 軸的附加轉(zhuǎn)動量，產(chǎn)生的修形效果相同。根據(jù)齒輪與齒條刀之 間的運(yùn)動關(guān)系，得到 C 軸附加轉(zhuǎn)動量 Δc 與 Y 軸的附加移動量 Δy 的關(guān)系為:

　　由于 Y 軸或 C 軸是沿齒槽的單方向運(yùn)動，因此 Y 軸或 C 軸的附加運(yùn)動在齒槽的左右齒面廓形上產(chǎn)生相反的修形量。雙面磨削時，X 軸和 Y 軸(或 C 軸) 的組合運(yùn)動可同時實(shí)現(xiàn)左右齒面任意的齒向修形。

　　蝸桿砂輪與齒輪的嚙合是一對相錯軸螺旋齒輪的嚙合，相錯軸齒輪齒面在嚙合過程中的每一瞬時皆為點(diǎn)接觸，連續(xù)展成磨削過程中齒面接觸點(diǎn)的位置連續(xù)變化。接觸點(diǎn)的空間運(yùn)動軌跡為兩個齒面的嚙合線，接觸點(diǎn)沿空間嚙合線的運(yùn)動在齒面上形成一條接觸跡。蝸桿砂輪運(yùn)動至齒輪齒寬的不同位置處，均會在齒面上形成一條接觸跡。因接觸跡與齒輪的端截面的夾角始終為 β_b，蝸桿砂輪沿齒輪寬度方向的連續(xù)運(yùn)動在齒面上形成一系列相互平行的接觸跡，所有的接觸跡構(gòu)成被加工的齒面。當(dāng)齒輪存在齒向修形時，其修形曲線是疊加在齒面分度圓的齒向螺旋線上，使得分度圓上的接觸點(diǎn)在不同齒寬位置處存在高度差，達(dá)到齒向修形的目的。

　　雙面磨削齒輪時，砂輪同時在齒槽的左右齒面上形成接觸跡。由于斜齒輪左右齒面上的接觸跡位置存在著高度差，如圖 7 所示，兩條接觸跡在分度圓處的接觸點(diǎn)沿齒寬方向的高度差為 2S_v。因此砂輪運(yùn)動至齒輪某一齒寬處，對應(yīng)的實(shí)際左右齒面在接觸跡處的修形量不是左右對稱的。

　　將蝸桿砂輪沿齒寬方向的運(yùn)動軌跡離散為一系列樣條點(diǎn)，根據(jù)每一個樣條點(diǎn)位置處對應(yīng)的左右齒面分度圓上的實(shí)際齒向修形量計(jì)算 X、Y 軸附加運(yùn)動量( 如圖 8 所示) ，擬合所有樣條點(diǎn)形成最終的蝸桿砂輪磨削運(yùn)動軌跡。

　　圖 8 中，線 1、2 分別表示蝸桿砂輪運(yùn)動至齒寬中間位置時在左、右齒面形成的接觸跡，兩條接觸跡在齒寬方向的高度差為 2S_v，根據(jù)左右齒面分度圓上的齒向修形曲線分別計(jì)算出該樣條點(diǎn)處對應(yīng)的左、右齒面修形量 δ_nL、δ_nR。由前面分析可知，X 軸的附加移動可在左右齒面上形成相同的修形量，Y 軸的附加移動可在左右齒面上形成相反的修形量。因此，X 和 Y 軸的組合運(yùn)動可同時實(shí)現(xiàn)左右齒面任意的齒向修形。在砂輪運(yùn)動軌跡的每一個樣條點(diǎn)處根據(jù)實(shí)際的左右齒面修形量計(jì)算對應(yīng)的 X、Y 軸附加運(yùn)動量，再將附加運(yùn)動疊加至砂輪的標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動軌跡上，完成對齒向修形齒輪連續(xù)展成磨削的運(yùn)動軌跡規(guī)劃。

　　三、齒向任意修形齒輪的連續(xù)展成磨削實(shí)驗(yàn)

　　為驗(yàn)證齒向任意修形齒輪連續(xù)展成磨削運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法的正確性，在開發(fā)的蝸桿砂輪磨齒功能軟件上開發(fā)齒向任意修形功能模塊，包括齒向修形功能界面開發(fā)及磨削 NC 程序編寫。在生產(chǎn)流程模塊下增加齒向任意修形功能界面，用于輸入被加工齒輪的齒向修形曲線，圖 9 為齒向修形曲線輸入界面。

　　利用公式(8) 、(9) 、(12) 計(jì)算出蝸桿砂輪在每一個樣條點(diǎn)處的附加運(yùn)動量 Δx、Δy，將砂輪的附加運(yùn)動量疊加至標(biāo)準(zhǔn)磨削軌跡上，并生成磨削軌跡樣條程序 (如圖 10) ，砂輪通過走樣條插補(bǔ)的方式實(shí)現(xiàn)齒向修形齒輪的磨削。

　　圖 10 所示的磨削軌跡樣條程序中，每一個樣條點(diǎn)分別對應(yīng)一行 X、Y、Z、YM 軸的坐標(biāo)，其中 Z 軸的坐標(biāo)從磨削行程的起始點(diǎn)到磨削行程的終止點(diǎn)，X 軸的坐標(biāo)為對應(yīng)樣條點(diǎn)處的附加運(yùn)動量 Δx，Y 軸的坐標(biāo)為磨削時的砂輪竄刀量( 由磨削對角比決定) ，YM 軸為疊加在 Y 軸上的一根虛擬軸，YM 軸的坐標(biāo)為對應(yīng)樣條點(diǎn)處的附加運(yùn)動量 Δy。

　　實(shí)驗(yàn)選取的被加工齒輪參數(shù)如表 1 所示，分別進(jìn)行左右齒面對稱齒向修形和非對稱齒向修形齒輪磨削實(shí)驗(yàn)。

　　根據(jù)設(shè)計(jì)的齒向修形曲線，在界面上完成對齒向修形曲線的定義，并完成對齒向修形齒輪的磨削加工。被加工齒輪的離線檢測報(bào)告如圖 11 所示。

　　圖 11a 為齒向?qū)ΨQ修形齒輪的檢測報(bào)告，其齒向修形方式為鼓形修形，左右齒面的齒向修形曲線具有很好的一致性和對稱性。圖 11b 為齒向任意非對稱修形齒輪的檢測報(bào)告，左齒面的任意齒向修形曲線是由多段曲線組合而成，右齒面的齒向修形曲線為鼓形曲線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了文中提出的連續(xù)展成磨削運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法的正確性。

　　四、結(jié)語

　　針對齒向任意修形齒輪的精密加工需求，在建立齒向修形齒面模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)齒向修形曲線對連續(xù)展成磨削運(yùn)動軌跡進(jìn)行規(guī)劃，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證軌跡規(guī)劃方法的有效性。

　　(1) 在建立的標(biāo)準(zhǔn)齒面模型基礎(chǔ)上，根據(jù)齒向修形齒面的形成原理，采用疊加齒輪端截面廓形的附加運(yùn)動方式建立了修形齒面方程。

　　(2) 根據(jù)修形齒輪的齒向任意修形曲線對蝸桿砂輪的連續(xù)展成磨削運(yùn)動軌跡進(jìn)行了規(guī)劃，建立了齒向修形量與 X 軸和 Y 軸的附加運(yùn)動量之間的計(jì)算模型。

　　(3) 在蝸桿砂輪磨齒上開發(fā)了齒向任意修形功能模塊，并通過左右齒面齒向?qū)ΨQ修形和齒向任意非對稱修形齒輪的連續(xù)展成磨削實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了文中提出的連續(xù)展成磨削運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法的正確性。

　　參考文獻(xiàn)略.