其中：瞬時頻率為f(t)=10+300t²。

　　文獻中給出了一些脊線提取的方法，然而大多數(shù)方法無法準確恢復(fù)能和信號真實瞬時頻率相匹配的脊線。例如，基于瞬時頻率估計的多項式線性調(diào)頻小波變換方法在處理嚴重噪聲信號時效果并不好。最明顯的原因是它只考慮時頻分布中每一離散點的最大幅值。所以，筆者采用了一種包含快速路徑優(yōu)化(afastpathoptimization，簡稱 FPO)的瞬時頻率提取方案。該脊線提取方案的具體步驟與原理如下：

　　1)使用時頻變換方法計算信號的時頻分布矩陣，得到每一時刻的幅值極大值 E_n(t)，及其對應(yīng)的頻率 P_n(t)

　　2)通過使用P_n(t)的相鄰節(jié)點 P_n(t)+Δf 和 P_n(t)-Δf 的二次插值對P_n(t)進行修正。優(yōu)化方案如下

　　其中：Δf 為時頻矩陣的頻率分辨率;P_n由式(5)計算得出。

　　3)通過對相鄰時刻極大值點對應(yīng)頻率的差值進行懲罰，構(gòu)造極大值點P_n(t_m)的權(quán)重函數(shù)

　　其中：w 為保證P_n(t_m)與 P_k(t_m-1)之間連續(xù)性的懲罰因子

　　其中：f_s 為采樣頻率;σ為高斯窗函數(shù)的參數(shù)。

　　因此，使用式(8)的權(quán)重函數(shù)構(gòu)造路徑優(yōu)化函數(shù)如下

　　4)通過對上述構(gòu)造的路徑優(yōu)化函數(shù)進行求解，得出t1～tm 時刻的最優(yōu)組合{P(t₁)，P(t₂)，…， P(t_M )｝，即為所提脊線。

　　相對于一些瞬時頻率估計方法，此方案有3個優(yōu)點：①使用二次插值定位幅值極大值的頻率更加的精確;②用來提取脊線的路徑優(yōu)化函數(shù)不僅考慮到脊線當(dāng)前點的幅值大小，還考慮到脊線的連續(xù)性;③快速路徑優(yōu)化的脊線提取方法可以有效地避開隨機噪點對所提脊線的干擾。

　　基于快速路徑優(yōu)化脊線的 ASTFT：自適應(yīng)短時傅里葉變換能夠根據(jù)瞬時頻率的斜率自動調(diào)整時窗寬度，從而在瞬時頻率斜率小的時 候保證較高的的頻率分辨率，在瞬時頻率斜率大的時候保證較高的時間分辨率。然而，在對原始信號做 ASTFT 之前，要先進行瞬時頻率估計，以瞬時頻率的斜率作為變化時窗的參考。本研究提出了使用時頻分布的脊線來計算瞬時頻率斜率，以此計算自適應(yīng)短時傅里葉變換時所使用的變化時窗。其具體實現(xiàn)步驟為：

　　1)對原始信號進行短時傅里葉變換得到初步的時頻分布S(t，f);

　　2)對S(t，f)進行基于快速路徑優(yōu)化的脊線提取得到f(t);

　　3)確定自適應(yīng)短時傅里葉變換的標準差參數(shù)

　　4)以σ(t)為標準差參數(shù)對s(t)進行自適應(yīng)短時傅里葉變換得到 ASTFT(t，f)。

　　二、仿真信號分析

　　仿真信號構(gòu)造：為驗證所提方法在時頻分析方面的有效性，構(gòu)造仿真信號s(t)如下

　　對信號進行時頻分析前加入信噪比為 -1dB 的高斯白噪聲。采樣頻率為2048Hz，時域波形如圖3所示，其理論瞬時頻率f(t)如下

　　仿真信號分析：通過對s(t)做固定時間窗的短時傅里葉變換，可以看出，在瞬時頻率斜率較大的時候(圖4(a)中紅圈部分)，長時窗的短時傅里葉變換(高斯窗函數(shù)的標準差參數(shù)σ取0.004，σ越小時窗長度越長)效果較差，能量較分散;在瞬時頻率斜率較小的時候(圖4(b)中紅圈部分)，短時窗的短時傅里葉變換(高斯窗函數(shù)的標準差參數(shù)σ取0.04，σ越大時窗長 度越短)效果較差，能量不夠集中。

　　同時對s(t)做自適應(yīng)短時傅里葉變換(高斯窗函數(shù)的標準差參數(shù)，如式(3)所示，f(t)為文中所提兩種脊線方法得到的脊線)， 結(jié)果如圖5所示，相對圖4中時頻分布自適應(yīng)短時傅里葉變換獲得的時頻分布能量更加集中。圖 5(a)為基于最大能量峰值(maximumenergypeaks， 簡稱 MEP)的瞬時頻率估計方法做自適應(yīng)短時傅里葉變換所得時頻分布，由于隨機噪聲干擾，瞬時頻率出現(xiàn)很大的波動;圖5(b)為筆者提出的基于快速路徑優(yōu)化脊線的自適應(yīng)短時傅里葉變換所得時頻分布，由于該方法可以有效降低隨機噪聲得干擾，得到的時頻分布較為均勻、集中。為從圖5中提取的瞬時頻率與理論瞬時頻率的比較，從圖6可以看出，基于 FPO的瞬時頻率估計結(jié)果更接近于理論瞬時頻率。

　　文中通過計算范數(shù)來衡量脊線的精確程度

?

　　其中：f_TI為真實脊線頻率;f_EI為所提取脊線頻率值。

　　經(jīng)計算可得本算法所得脊線誤差為0.0067，而使用 MEP脊線誤差為0.0361，故本算法所提脊線遠比 MEP算法脊線準確。

　　三、行星齒輪箱故障診斷

　　行星齒輪箱故障數(shù)據(jù)：本試驗的振動數(shù)據(jù)采集自行星齒輪箱故障模擬試驗臺。如圖7所示，試驗臺包括電機驅(qū)動、交流電機、行星齒輪箱、固定軸齒輪箱和制動器。轉(zhuǎn)速傳感器和加速度傳感器分別采集電機軸轉(zhuǎn)速和行星齒輪箱振動信號，電機軸轉(zhuǎn)速可由電機驅(qū)動自由調(diào)節(jié)，本試驗中電機為變轉(zhuǎn)速，包括一段升速和一段減速過程。信號采樣頻率為12800Hz，采集時長16s。

　　表1給出了行星齒輪箱的齒輪參數(shù)。由參考文獻提供的星齒輪箱故障階次計算公式如下

　　其中：O_r，O_s 和 O_p 分別為齒圈、太陽輪、行星輪故障階次;Z_r，Z_s 和Z_p 分別為齒圈、太陽輪、行星輪齒數(shù);n_p 為行星輪個數(shù)。

　　表2為將表1中參數(shù)帶入式(14)～(16)計算得到的行星齒輪箱內(nèi)各零件故障特征階次表。

　　試驗信號分析：通過對含有行星輪裂紋故障的振動信號進行階次分析，從而驗證該方法的有效性。行星齒輪箱故障數(shù)據(jù)的振動時域圖和頻譜圖如圖8所示。圖8(a)為試驗中直接采集的振動信息時域圖，圖8(b)為時域信號經(jīng)傅里葉變換得到的頻譜圖，在頻譜中出現(xiàn)了很多峰值，由于齒輪轉(zhuǎn)速波動，很難將頻譜圖中的峰值與故障特征頻率或者故障特征階次聯(lián)系起來。

　　首先，對原始故障信號使用短時傅里葉變換獲得信號的時頻分布，并提取出信號中電機轉(zhuǎn)速對應(yīng)的瞬時頻率，如圖9所示，圖中紅線為使用基于快速路徑優(yōu)化的脊線提取方案獲得的瞬時頻率。

　　然后，再次對原始故障信號使用筆者提出的基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時傅里葉變換獲得新的時頻分布，并提取出信號中電機轉(zhuǎn)速對應(yīng)的瞬時頻率，如圖10所示，圖中紅線為從此時頻分布中提取的瞬時頻率。通過對比，可以看出本方法獲得的時頻分布(見圖10)優(yōu)于傳統(tǒng)短時傅里葉變換得到的時頻分布(見圖9)。將圖9和圖10中提出的瞬時轉(zhuǎn)速信息與實際轉(zhuǎn)速進行對比，如圖11所示，圖中曲線1為使用STFT 得到的轉(zhuǎn)速;曲線2為本方法得到的轉(zhuǎn)速;曲線3為實際轉(zhuǎn)速?？梢钥闯鐾ㄟ^本方法獲得的轉(zhuǎn)速更加接近于真實轉(zhuǎn)速，可以作為實際轉(zhuǎn)速未知情況下行星齒輪箱故障信號角度域重采樣的參考轉(zhuǎn)速。

　　最后，利用獲得的瞬時頻率對故障數(shù)據(jù)重新進行角度采樣，即將時域信號對轉(zhuǎn)速進行積分從而得到角度域信號，如圖12所示。然后對故障數(shù)據(jù)的角度域信號做階次分析得到振動信號的階次圖，如圖13所示。圖中幅值較大的1階為轉(zhuǎn)頻、2階為2倍轉(zhuǎn)頻。對應(yīng)表2可以在圖13階次中找到故障階次，故障階次為0.83階，幅 值 為0.012g，故障階次非常明顯，從而驗證基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時傅里葉變換方法在實際應(yīng)用中的可行性。同時添 加如下對比，以通過 MEP 方法獲得的參考轉(zhuǎn)速對信號做階次分析，得到如圖14所示階次圖，從圖中很難判斷出行星齒輪故障階次。

　　四、結(jié)束語

　　基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時傅里葉變換方法依據(jù)快速路徑優(yōu)化方法獲得的瞬時頻率規(guī)律變換時頻窗長度，使自適應(yīng)短時傅里葉變換能夠獲得更加優(yōu)化的時頻分布，從而在下一次的脊線提取過程中獲得更加準確的瞬時頻率估計結(jié)果。通過對比仿真信號的處理結(jié)果，可以清晰地看出在處理瞬時頻率斜率變化較快的信號時，筆者提出的基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時傅里葉變換要優(yōu)于傳統(tǒng)的短時傅里葉變換方法。通過使用此方法處理取自行星齒輪變速箱的非平穩(wěn)信號，根據(jù)快速路徑優(yōu)化脊線提取方案獲得的齒輪箱瞬時轉(zhuǎn)速對原始故障信號重新進行角度采樣，對角度域故障信號做階次分析，得到明顯的特征階次。通過對試驗信號的分析證明了基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時傅里葉變換方法在行星齒輪變速箱故障診斷上的有效性。

　　參考文獻略.