為了降低面齒輪傳動系統(tǒng)的振動與噪音，預(yù)設(shè)二階與四階傳動誤差、接觸路徑傾角及接觸橢圓長軸，對面齒輪副進(jìn)行主動修形，建立面齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型;以嚙合線振動加速度均方根為優(yōu)化目標(biāo)，運(yùn)用遺傳算法獲得最優(yōu)主動修形參數(shù)，分析了系統(tǒng)的分岔特性及嚙合剛度對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。結(jié)果表明：二階與四階傳動誤差優(yōu)化后的嚙合線振動加速度均方根較理論值分別降低了85.7%和88.1%，四階傳動誤差在減振方面效果更佳;系統(tǒng)的振動不僅與嚙合剛度均值有關(guān)，嚙合剛度高階諧波幅值對振動有較大影響;傳動誤差與接觸路徑傾角在合理取值范圍內(nèi)，增大接觸橢圓長軸長度對降低振動有利，推薦的接觸路徑傾角在10.5°和13.5°鄰域內(nèi);主動修形可縮小混沌運(yùn)動窗口，有利于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性;研究結(jié)果可為面齒輪副的減振設(shè)計提供理論依據(jù)。

　　面齒輪傳動由于圓柱齒輪無軸向力，且可在徑向小幅浮動，有利于建立分流傳動系統(tǒng)，因此廣泛應(yīng)用于直升機(jī)傳動系統(tǒng)中。面齒輪傳動布置為輸入級，轉(zhuǎn)速可高達(dá)數(shù)萬轉(zhuǎn)，故其動態(tài)性能設(shè)計與分析極為重要，同時主機(jī)設(shè)備對傳動系統(tǒng)的承載能力、平穩(wěn)性、低噪與弱振等性能的要求也越來越高。

　　大量的研究成果表明，修形可降低齒輪傳動系統(tǒng)的振動與噪音，提高系統(tǒng)的承載能力等，修形技術(shù)作為提高齒輪傳動性能的措施之一，已被廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)預(yù)設(shè)了二階幾何傳動誤差來降低系統(tǒng)振動與噪音，通過有限元仿真進(jìn)行了驗證。文獻(xiàn)研究了修形對圓柱齒輪的載荷分配、接觸應(yīng)力、承載性能及傳動誤差的影響。文獻(xiàn)提出了 沿接觸線的非均勻載荷分布模型，分析了齒廓修形對齒間載荷分布及傳動誤差等特性的影響。文獻(xiàn)提出了一種主動修形方法，給出了具體的數(shù)控加工方法，結(jié)合齒面接觸分析技術(shù)對幾何嚙合性能進(jìn)行了驗證，且分析了修形后齒面的邊緣接觸情況。

　　以上研究大多集中于通過齒面修形技術(shù)提高齒輪傳動的承載性能，而針對齒輪傳動的減振降噪研究也是研究熱點(diǎn)之一。文獻(xiàn)提出了一種基于綜合曲率的齒面修形方法，結(jié)果表明高階的傳動誤差能夠降低螺旋錐齒輪與準(zhǔn)雙曲面齒輪系統(tǒng)的振動。文獻(xiàn)以動態(tài)嚙合力為優(yōu)化目標(biāo)，基于遺傳算法給出了斜齒行星齒輪的最優(yōu)修形參數(shù)。文獻(xiàn)提出了一種可預(yù)設(shè)高階幾何傳動誤差的齒面修形方法，以承載傳動誤差、軸向力及振動加速度等作為優(yōu)化目標(biāo)，以粒子群算法求解最優(yōu)修形參數(shù)，結(jié)果表明優(yōu)化后齒輪傳動的振動得以降低，當(dāng)承載傳動誤差幅值最小時，齒輪副的振動情況未必為最佳，以振動加速度為優(yōu)化目標(biāo)更加合適。上述研究為齒輪傳動的減振做出了貢獻(xiàn)，但對于面齒輪傳動， 主動修形參數(shù)與減振降噪的映射關(guān)系還不明確。

　　為了進(jìn)一步研究齒面修形對面齒輪傳動振動的影響，本研究通過預(yù)設(shè)齒面幾何嚙合性能的方式對面齒輪及圓柱齒輪進(jìn)行主動修形，基于齒面接觸分析及承載接觸分析計算面齒輪副的嚙合剛度，建立傳動系統(tǒng)六自由度動力學(xué)模型，以嚙合線振動加速度均方根為優(yōu)化目標(biāo)，采用遺傳算法求解最優(yōu)主動設(shè)計參數(shù)，分析了修形后面齒輪副嚙合剛度對振動的影響及傳動系統(tǒng)的分岔特性.

　　一、齒面主動修形

　　預(yù)設(shè)幾何傳動誤差：面齒輪傳動存在幾何傳動誤差ΔΦ₂，

　　式中：Φ₁和 Φ₂為圓柱齒輪與面齒輪在嚙合過程中的轉(zhuǎn)角;m₂₁=N₁/N₂，N₁和 N₂為圓柱齒輪與面齒輪齒數(shù)。

　　圖 1為四階傳動誤差曲線示意圖，圖中：a，c 和 d，e分別為面齒輪副嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)和嚙入嚙出點(diǎn)，對應(yīng)的 Φ₁與 ΔΦ₂為 Φ^(θ)₁ 和 ΔΦ^(θ)₂ ，θ =a，c，d，e;b 為傳動誤差曲線頂點(diǎn)，ΔΦ^(b)₂ =0″;T 為嚙合周期，T=2π/N1;μ為曲線在 c處的斜率.傳動誤差曲線函數(shù)為

圖1 預(yù)設(shè)傳動誤差曲線

　　四階傳動誤差曲線的幾何關(guān)系可通過 A·X=B 表達(dá)，則系數(shù)向量X=A^-1 ·B，其中：

　　本研究還設(shè)計了二階傳動誤差曲線，即式(2) 中M=2，曲線函數(shù)為一元二次方程.四階傳動誤差曲線存在關(guān)系：設(shè) Π_M 為傳動誤差曲線設(shè)計參數(shù)向量：

　　式中 M=2，4，分別表示二階與四階傳誤差曲線，Λ控制二階傳動誤差曲線開口大小。

　　設(shè) N₁與插齒刀齒數(shù) N_s 相等，插齒加工中插齒刀轉(zhuǎn)角為φ_s，面齒輪轉(zhuǎn)角為φ₂，Φ₁，Φ₂，N₁和N_s滿足如下關(guān)系：

　　結(jié)合式(1)～(5)，可得

　　在面齒輪的加工過程中，保證 φ_s ，φ₂滿足式 (6)，即可獲得期望的傳動誤差曲線，且直接對面齒輪進(jìn)行修形，設(shè)主動修形后的面齒輪齒面為Ω'₂。

　　預(yù)設(shè)接觸路徑：接觸路徑的位置及方向在面齒輪旋轉(zhuǎn)投影面上設(shè)置，如圖 2 所示.p_i為接觸路徑上任意點(diǎn)(i=1，2，…，m，…，n)，p_m為接觸路徑的參考點(diǎn)，設(shè)在齒寬中央，由參數(shù)(L_m，H_m)控制.θ 為接觸路徑傾角，a 為接觸橢圓長半軸的長度，a=ξ_a×B，B 為面齒輪齒寬，ξ_a為實(shí)系數(shù).σ 為面齒輪與圓柱齒輪軸線夾角，接觸路徑上的任意點(diǎn)滿足直線方程

　　式中：rⁱ_2x，rⁱ_2y，rⁱ_2z為面齒輪齒面上接觸路徑任意點(diǎn)i的位矢rⁱ₂在x，y，z軸的投影;σ=90°.

圖2 預(yù)設(shè)接觸路徑

　　預(yù)設(shè)接觸橢圓長軸長度： 圖3為圓柱齒輪修形齒面示意圖。圖中：q_mk為p_m在圓柱齒輪齒面上的共軛點(diǎn)，q_mj為 q_mk處接觸線上的任意點(diǎn)(j=1，2，…，k-l，…，k+l，…，n);qm(k-l)和 q_m(k+l)為 q_mk處接觸橢圓長軸的端點(diǎn)，將 q_mk處接觸線用修形曲線(拋物線)替代;ε 為修形曲線上的點(diǎn)到接觸線的法向距離，其中 q_mk 處 ε=0 mm，q_m(k-l)和 q_m(k+l)處 ε=6.35 μm.接觸路徑上其他點(diǎn)做同樣處理，故任意接觸點(diǎn)處修形曲線的位矢為

　　式中：r_1ij和 n1ij為任意接觸點(diǎn) i 處接觸線上任意點(diǎn) j 的位矢與法矢;r1i為任意接觸點(diǎn) i 的位矢.在求出接觸路徑上所有接觸點(diǎn)處修形曲線的位矢后，得到修形后圓柱齒輪齒面 Ω'1的位矢。此處修形可轉(zhuǎn)換到面齒輪齒面上，但考慮到 N1較小，對圓柱齒輪修形可提高加工效率。

　　傳統(tǒng)的面齒輪插齒加工法須使 N_s -N₁=1～3 來實(shí)現(xiàn)圓柱齒輪與面齒輪齒面的局部共軛，此處則通過主動修形的方式令兩齒面呈點(diǎn)接觸.具體的推導(dǎo)過程與加工方法參見文獻(xiàn)，在此不再贅述。

圖3 圓柱齒輪修形齒面

　　二、面齒輪傳動系統(tǒng)及優(yōu)化模型

　　振動模型： 基于集中質(zhì)量法，建立考慮時變嚙合剛度、齒面摩擦及齒側(cè)間隙的面齒輪傳動系統(tǒng)六自由度動力學(xué)模型，如圖 4 所示.根據(jù)面齒輪傳動的受力特點(diǎn)，圓柱齒輪無軸向力，故不考慮圓柱齒輪與面齒輪在 Z 方向的自由度。x₁，y₁，x₂，y₂，θ₁，θ₂為圓柱齒輪與面齒輪沿 XY 方向的彎曲振動、軸向振動自由度及繞各自軸線的旋轉(zhuǎn)自由度;TD和TL為驅(qū)動力矩和負(fù)載力矩;k₁₂和c₁₂為嚙合剛度及阻尼;kij為支撐剛度，c_ij為支撐阻尼(i=x，y，j=1，2);e_m為靜態(tài)傳動誤差.c12按下式計算，

　　式中：ξ_d為阻尼比，在此取0.05;m₁和m₂為圓柱齒輪與面齒輪質(zhì)量;k₀為平均嚙合剛度。

圖4 面齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型

　　運(yùn)動方程：面齒輪副的受力分析見圖5.圖中：ω₁和ω₂為圓柱齒輪與面齒輪的角速度;r_b1為圓柱齒輪的基圓半徑;J₁，r₁和J₂，r₂分別為圓柱齒輪和面齒輪的轉(zhuǎn)動慣量和旋轉(zhuǎn)半徑.r₁和r₂由下式表示，

　　式中：i表示接觸點(diǎn);j=1，2;e_j為齒輪旋轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量;r_ji，n_ji分別為接觸點(diǎn)的位矢和法矢;r_jxi，r_jyi，r_jzi為r_ji沿XYZ方向分量.

圖5 面齒輪副受力分析

　　F_fi為齒輪副由于相對滑動產(chǎn)生的滑動摩擦力，

　　式中：u 為滑動摩擦系數(shù)，u=0.02;V_s為齒面相對滑動速度;Γ(V_s)為滑動摩擦力方向函數(shù);F_δ為面齒輪副法向動態(tài)嚙合力。

　　式中：α_n為面齒輪副壓力角，α_n=25°;S_mj為摩擦力臂.F_δ及其在XY方向的分量F_x，F(xiàn)_y分別為：

　　式中δ_n為嚙合線上的相對位移，

　　基于承載接觸分析計算面齒輪副受載后的法向變形量，并轉(zhuǎn)化為承載傳動誤差ΔΦ_2load，

　　式中：Z 為法向承載變形;r₂和n₂分別為面齒輪齒面的位矢與法矢.面齒輪副的嚙合剛度為

　　式中 F_sm為法向靜態(tài)嚙合力.將嚙合剛度擬合成傅里葉級數(shù)形式，作為內(nèi)部激勵加入運(yùn)動方程.

　　通過式(16)消去旋轉(zhuǎn)振動自由度 θ₁和 θ₂，引入自由度δ_n.由于系統(tǒng)中考慮了時變嚙合剛度及齒側(cè)間隙等強(qiáng)非線性因素，各參數(shù)間的數(shù)量級差距較大，因此結(jié)合牛頓第二定律及式(9)～(18)，推導(dǎo)系統(tǒng)運(yùn)動方程組，并作無量綱化處理，得到

　　式中k_i和Φ_mi為嚙合剛度在i階的剛度幅值和相位.

　　優(yōu)化模型：基于 Matlab，通過龍格-庫塔(Runge-Kutta)數(shù)值積分法求解運(yùn)動微分方程組(19).以面齒輪副嚙合線法向振動加速度均方根為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化模型為

　　式中：Π_M，ξ_a與 θ 為設(shè)計變量;M_min和 M_max為傳動誤差曲線設(shè)計參數(shù)最小值與最大值向量;D_min和 D_max為ξ_a，θ最小值與最大值向量;w為|ΔΦ^(d)₂ -ΔΦ^(e)₂ | 的最大值，用以控制傳動誤差曲線對稱性.R_δ為嚙合線振動加速度均方根，

　　由于在優(yōu)化過程中運(yùn)用了齒面主動設(shè)計、齒面接觸分析、承載接觸分析、運(yùn)動方程求解等程序，因此無法直接建立優(yōu)化變量與優(yōu)化目標(biāo)之間的顯性關(guān)系式，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法無法適用該優(yōu)化問題.遺傳算法是一種高效、并行、全局搜索的方法，可自適應(yīng)地控制搜索過程以求得全局最優(yōu)解，故本研究用其求解優(yōu)化模型(22).

　　三、算例與分析

　　面齒輪傳動系統(tǒng)基本參數(shù)見表 1，其中：N 為齒數(shù);m_n為模數(shù);B為齒寬;m為質(zhì)量;ρ為密度;v 為泊松比;E 為彈性模量;J 為轉(zhuǎn)動慣量;k_x和 k_y 為支撐剛度;c_x和 c_y為支撐阻尼.圓柱齒輪的負(fù)載扭矩 TD=1 000 N·m，轉(zhuǎn)速 n₁=1 800 r/min.優(yōu)化后主動設(shè)計參數(shù)見表 2.“理論”指面齒輪副中面齒輪齒面為理論齒面，2rd-A 和 4rd 指面齒輪副中面齒輪齒面為 2 階與 4 階傳動誤差優(yōu)化后的齒面，2rd-B 為參照組，其傳動誤差參數(shù)與 2rd-A 一致， 接觸橢圓長軸長度與接觸路徑傾角與 4rd一致.理論面齒輪通過插齒加工生成，且 Ns -N1=3.2rd-A 與2rd-B對應(yīng)二階傳動誤差曲線，4rd對應(yīng)四階傳動誤差曲線.表3為優(yōu)化后面齒輪副的承載傳動誤差幅值(ALTE)與 Rδ.2rd-A，2rd-B 及 4rd 的 ALTE相較于理論值分別降低78.4%，79.7%和79.5%，Rδ分別降低 85.7%，78.5% 和 88.1%，可見 ALTE越小未必可使Rδ越小.

　　圖6為面齒輪副的接觸印痕.理論齒面接觸路徑靠近面齒輪大端，易造成偏載，2rd-A，2rd-B和 4rd 接觸路徑位于齒寬中央，2rd-B 和 4rd 接觸路徑傾角最小，增大了重合度，承載性能得以提高.圖 7展示了面齒輪副的幾何傳動誤差曲線.理論齒面的 ΔΦ2趨近于 0″，除理論齒面外，4rd 的|ΔΦ^(d)₂|與 |ΔΦ^(e)₂|最小，嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)處的曲線平緩，提高了傳動的平穩(wěn)性.圖 8 為面齒輪副的承載傳動誤差曲線，2rd-A，2rd-B 和 4rd 的 ALTE較理論齒面大幅降低.4rd 面齒輪副齒面的 ease-off 曲面見圖 9，H 為輪齒齒高.由于圓柱齒輪與面齒輪齒面 ease-off 修形量(Γ_p與 Γ_f )分別與接觸橢圓長軸和傳動誤差曲線有關(guān)，因此上述結(jié)果已有所體現(xiàn).

　　主動修形后面齒輪副Ψδ大幅減小(見圖10)，頻譜主要頻率成分為4倍嚙合頻率(18.8 kHz)，系統(tǒng)某階固有頻率接近4倍頻，引發(fā)共振現(xiàn)象，理論齒面及2rd-B，2rd-A，4rd在4倍頻處幅值依次降低.

圖10 嚙合線振動加速度及頻譜

　　圖 11 為嚙合剛度及其頻譜，主動修形面齒輪副重合度增大，嚙合剛度均值增加，4rd和2rd-B的重合度(2.00)大于2rd-A(1.88)，4rd的|ΔΦ2|整體最小 (除去理論組)，4rd，2rd-B 和 2rd-A 嚙合剛度均值依次降低.理論面齒輪副嚙合剛度在嚙合頻率處 (4.7 kHz)幅值及諧波幅值都大于修形后面齒輪副，4rd 在 3 倍頻和 4 倍頻處幅值最小，2rd-B 的 3 倍頻和 4 倍頻處幅值皆大于 2rd-A，可見在嚙合剛度均值接近的情況下，其高次諧波幅值對振動有較大影響.綜上所述，主動修形可減小面齒輪傳動的振動，四階比二階傳動誤差曲線在減振方面更具優(yōu)勢.

圖11 嚙合剛度及其頻譜

　　令優(yōu)化后的二階與四階傳動誤差不變，R_δ隨 ξ_a 和θ增大的變化趨勢如圖12所示.當(dāng)傳動誤差為二階時(2rd-A)，隨著 ξ_a的增大，R_δ整體上呈減小趨勢，接觸橢圓長軸的增大會增加輪齒嚙合時的接觸面積，輪齒接觸變形減小，嚙合剛度增大，減小了 R_δ，但嚙合剛度諧波幅值對R_δ有較大影響，故出現(xiàn)了部分ξ_a增大R_δ也隨之增大的現(xiàn)象.

圖12 ξ_a和θ對R_δ的影響

_{ξa不宜超過} 0.3，以避免兩輪齒齒面呈線接觸，不利于降低安裝誤差的敏感度.當(dāng) θ=16.5°時，Rδ 驟然增大，隨后Rδ呈減小趨勢;當(dāng)θ=30°時，與最優(yōu)情況相比，R_δ仍相對較大.

　　θ不宜過大，否則會降低面齒輪副重合度，不利于提高面齒輪副的承載性能.當(dāng)傳動誤差為四階時(4rd)，Rδ隨 ξa和 θ增大的變化趨勢與圖 12(a)整體一致，兩組的極小值分別出現(xiàn)在ξa=0.26，θ=13.5和 ξa=0.3，θ=10.5 處，與優(yōu)化結(jié)果對應(yīng).齒面主動修形參數(shù)的取值可參考以上數(shù)值.

　　圖13為ω_e∈[0.1～3.0]時理論面齒、2rd-A與4rd 的系統(tǒng)分岔圖.對于理論面齒輪傳動系統(tǒng)，當(dāng) ωe∈ [0.10～0.87]時，系統(tǒng)為周期 1 運(yùn)動.隨著 ωe的增大，系統(tǒng)依次變?yōu)橹芷?2-擬周期-混沌-周期 4-周期 2-混沌-周期1運(yùn)動.

圖13 分岔圖

　　圖 14 為當(dāng) ω_e=1.13 時系統(tǒng)響應(yīng)的相圖與 Poincare 截面(混沌運(yùn)動).2rd-A 與 4rd 的分岔圖相似，但 2rd-A 在 ω_e=2.0 處進(jìn)入混沌運(yùn)動，相圖及 Poin-care截面見圖15.

　　4rd在ω_e=2.34處由周期2運(yùn)動進(jìn)入周期1運(yùn)動，當(dāng) ω_e=2.33 時系統(tǒng)響應(yīng)的相圖與 Poincare 截面見圖 16(周期 2 運(yùn)動).相比于理論面齒，2rd-A 與 4rd 大大縮小了混沌運(yùn)動窗口，原因在于優(yōu)化后的面齒輪副嚙合剛度大幅度提高，根據(jù)式(9)可知阻尼相應(yīng)增大，混沌運(yùn)動窗口被壓縮.混沌運(yùn)動會加劇齒輪副的振動與沖擊，主動修形可縮小系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動的轉(zhuǎn)速區(qū)間.

　　四、結(jié)論

　　a.二階與四階傳動誤差優(yōu)化后系統(tǒng)的振動加速度均方根相比理論面齒輪副分別降低了85.7%和 88.1%，承載傳動誤差幅值分別降低了 78.4% 和 79.5%，在減振方面四階比二階傳動誤差更具優(yōu)勢.

　　b.承載傳動誤差幅值越小，系統(tǒng)振動情況未必越好，在嚙合剛度均值接近的情況下，嚙合剛度高階諧波幅值大小對振動有較大影響.

　　c.在合理取值范圍內(nèi)，增大接觸橢圓長軸有利于降低系統(tǒng)振動，ξa可在[0.26，0.30]內(nèi)取值;接觸路徑傾角應(yīng)小于16.5°，可在10.5°和13.5°鄰域內(nèi)取值.

　　d.主動修形面齒輪副的嚙合剛度得到了增大，阻尼也相應(yīng)增大，相較于理論面齒輪傳動系統(tǒng)，混沌運(yùn)動窗口被壓縮，系統(tǒng)的穩(wěn)定性得以提高.

　　參考文獻(xiàn)略.