為了制造出高精度硬齒面面齒輪，提高刀具的通用性并簡化機床結(jié)構(gòu)，提出一種基于四軸數(shù)控機床和盤形砂輪多線包絡(luò)磨削面齒輪的加工方法。設(shè)計頂刃帶有圓弧的盤形砂輪對插齒刀齒面進行仿形。建立盤形砂輪磨削面齒輪的數(shù)學(xué)模型，規(guī)劃盤形砂輪的刀位軌跡。通過數(shù)值模擬方法探究刀具的頂刃圓弧半徑和轉(zhuǎn)矩角對齒面包絡(luò)殘差的影響規(guī)律。結(jié)合選用的四軸數(shù)控機床結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)盤形砂輪磨削面齒輪的數(shù)控運動規(guī)律，并在 VERICUT 軟件中進行仿真加工。將仿真模型與理論齒面進行對比分析，得到齒面偏差的最大值為-4.3～4.7μm，結(jié)果驗證了所提出加工方法的正確性，也證明了根據(jù)齒面包絡(luò)殘差的影響規(guī)律選用合適的刀具加工參數(shù)，可以保證面齒輪齒面精度的同時提高加工效率。

　　面齒輪傳動是一種圓柱齒輪與錐齒輪嚙合傳動的齒輪機構(gòu)，因其獨特的分流-匯流傳動結(jié)構(gòu)，被廣泛應(yīng)用于直升機主減速器、汽車差速器等傳動系統(tǒng)中。

　　航空面齒輪的傳統(tǒng)制造方法有滾切、銑齒、磨齒等加工方式，它們都是基于面齒輪的插齒加工原理，致使加工面齒輪所用的刀具形狀都必須復(fù)制插齒刀法線截面上的理論齒廓。當(dāng)面齒輪的設(shè)計參數(shù)改變時，就需要重新設(shè)計、制造和修整刀具。這既不利于刀具的序列化和標(biāo)準化，又在實際應(yīng)用中耗時、費力、增加刀具的制造成本。

　　為解決刀具結(jié)構(gòu)復(fù)雜性和通用性的問題， hermann提出了平面刀具加工面齒輪的方法，平面刀具通過高階滾比逼近插齒刀的漸開線對面齒輪進行連續(xù)分度加工，實現(xiàn)了刀具的通用性并提高了面齒輪的加工效率，但加工出的面齒輪齒面存在較大的偏差。國內(nèi)毛世民和彭先龍等基于這種方法分別提出了控制刀具移動路徑和添加刀具附加運動的方法來降低面齒輪的齒面偏差，但都未能達到理想的效果。唐進元及其科研團隊提出了數(shù)控插銑和刨削兩種面齒輪加工方法來降低刀具結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，但是這兩種方法均是沿著插齒刀的軸線方向?qū)u開線齒廓進行仿形，致使面齒輪的加工效率不是很高且只適用于粗加工。

　　針對上述方法的局限性，本文提出基于四軸數(shù)控(CNC)機床，盤形砂輪多線包絡(luò)磨削面齒輪的加工方法。具體內(nèi)容如下：①推導(dǎo)盤形砂輪的仿形方程;②建立面齒輪的數(shù)學(xué)模型;③規(guī)劃盤形砂輪的刀位軌跡并進行齒面包絡(luò)殘差的仿真計算;④推導(dǎo)面齒輪磨削的數(shù)控運動規(guī)律并進行仿真加工，將仿真結(jié)果與理論齒面進行對比分析。

　　一、盤形砂輪對插齒刀仿形

　　插齒刀的齒面方程：建立如圖1所示的坐標(biāo)系 S_s 和 S_m 來表示插齒刀的漸開線齒面。S_s 、S_m 分別為插齒刀的運動坐標(biāo)系和固定坐標(biāo)系，S_s 隨著插齒刀一起轉(zhuǎn)動，Φ_s 為插齒刀轉(zhuǎn)動的角度，S_m 用于表示插齒刀轉(zhuǎn)動Φs之后的漸開線齒面。

　　插齒刀齒面轉(zhuǎn)動Φs 之后的位置矢量R_m 和單位法向矢量n_m 為

　　式中R_s、n_s 分別為插齒刀齒面未轉(zhuǎn)動Φ_s之前的位置矢量和單位法向矢量，其具體內(nèi)容詳見參考文獻。rbs為插齒刀的基圓半徑；θ_s、u_s 分別為插齒刀齒面上任意點的角度參數(shù)和軸向參數(shù)；θ_os為輪齒對稱軸到漸開線起始點的夾角。

　　盤形砂輪的仿形方程：根據(jù)插齒刀漸開線齒廓凸形結(jié)構(gòu)的特點，設(shè)計頂刃帶有圓弧的盤形砂輪，如圖2所示，S_a 為 盤形砂輪的固定坐標(biāo)系，x_a 是砂輪的旋轉(zhuǎn)軸。盤形砂輪頂刃圓弧的曲線方程 R_a 和單位法向矢量 n_a 為

　　式中R為盤形砂輪的旋轉(zhuǎn)半徑；ρ、r、h 分別為盤形砂輪頂刃的圓弧參數(shù)、圓弧半徑和厚度。砂輪的頂刃圓弧半徑r始終小于所仿形插齒刀齒廓的曲率半徑。

　　盤形砂輪沿著 x_a、y_a、z_a 軸方向分別移動 Δx_a、Δy_a、Δz_a 可將其頂刃圓弧始終與插齒刀漸開線齒廓相切，即齒廓曲線上的任意一點 P 的法線始終過砂輪的頂刃圓弧圓心，如圖3所示。因此盤形砂輪頂刃圓弧的運動方程R^a_m 可對插齒刀漸開線齒面R_m 進行仿形。

　　式(5)和式(6)中共有5個等式成立，可用插齒刀齒面的3個參數(shù)變量u_s、θ_s、Φ_s 分別確定盤形砂輪頂刃圓弧的ρ、Δx_a、Δy_a、Δz_a 這4個參數(shù)變量，即

　　本方法不僅適應(yīng)于標(biāo)準漸開線齒輪刀具，也適用于其他經(jīng)過齒廓修形并已知齒廓曲線方程的齒輪刀具。盤形砂輪的頂刃圓弧也可以充當(dāng)插齒刀齒頂圓角的作用，通過相應(yīng)的嚙合運動展成面齒輪的過渡曲面。

　　二、面齒輪的齒面方程

　　根據(jù)面齒輪的插齒加工原理和盤形砂輪對插齒刀齒面的仿形，建立如圖4所示的坐標(biāo)系統(tǒng)，來表示盤形砂輪磨削面齒輪的加工過程。Sp 和S2 分別為面齒輪的理論固定坐標(biāo)系和運動坐標(biāo)系，Sp 與面齒輪的支架剛性固連，S2 隨面齒輪一起轉(zhuǎn)動。

　　坐標(biāo)系S_m 到S₂ 的變換矩陣 M_2m為

　　式中γ_m、Φ2 分別為面齒輪的軸夾角和轉(zhuǎn)角。

　　式中 N_s、N₂ 分別為插齒刀和面齒輪的齒數(shù)。

　　通過變換矩陣 M_ma和 M_2m可以推導(dǎo)出盤形砂輪磨削面齒輪的齒面方程R^a₂ 和法向矢量n_a2

　　盤形砂輪與面齒輪的嚙合方程為

　　通過理論計算，并進行對比分析，驗證了盤形砂輪磨削產(chǎn)生的面齒輪齒面與插齒刀展成的面齒輪齒面是一致的，不存在任何的齒面偏差。

　　三、面齒輪的齒面包絡(luò)

　　刀位軌跡的規(guī)劃：由齒輪嚙合原理可知，面齒輪齒面Σ2 是通過插齒刀的漸開線齒面Σs 若干次的連續(xù)運動包絡(luò)產(chǎn)生的。在面齒輪的插齒加工過程中，插齒刀沿其旋轉(zhuǎn)軸線做往復(fù)運動來切削面齒輪毛坯，每次插削運動插齒刀齒廓將在面齒輪單側(cè)齒面上產(chǎn)生一條嚙合接觸線，如圖5所示。因此提出將兩齒面間的接觸線作為盤形砂輪的刀位軌跡，對面齒輪進行磨削，進而實現(xiàn)包絡(luò)加工面齒輪的目的，如圖6所示。

　　在插齒刀和面齒輪的嚙合過程中存在兩個極限轉(zhuǎn)角。最大轉(zhuǎn)角Φ_s(max)位于面齒輪的外徑齒頂處;最小轉(zhuǎn)角Φ_s(min)位于面齒輪內(nèi)徑和齒根過渡曲線的交點處，如圖5所示。Φ_s(max)和Φ_s(min)的求解過程，詳見參考文獻。

　　在面齒輪的磨削過程中，盤形砂輪始終垂直于面齒輪的端面，如圖7所示，圖中粗實線表示插齒刀齒廓與面齒輪齒面的接觸區(qū)域。當(dāng)插齒刀轉(zhuǎn)動最小角度Φ_s(min)時，盤形砂輪對插齒刀的齒頂部分進行仿形，進而加工出面齒輪的齒根部分，如圖7(a)所示;當(dāng)插齒刀轉(zhuǎn)動最大角度Φ_s(max)時，盤形砂輪對插齒刀的齒根部分進行仿形，進而加工出面齒輪的齒頂部分，如圖7(c)所示。

　　總而言之，從插齒刀的最小轉(zhuǎn)角Φ_s(min)到最大轉(zhuǎn)角Φ_s(max)，盤形砂輪都能對插齒刀進行仿形，沿著兩齒面間的接觸線對面齒輪進行磨削加工， 且不存在理論上的干涉。

　　齒面包絡(luò)殘差的計算：在面齒輪的磨削過程中，盤形砂輪無法對其進行連續(xù)包絡(luò)，因此面齒輪齒面上將會產(chǎn)生包絡(luò)殘差，包絡(luò)殘差會直接影響面齒輪的表面粗糙度進而降低其齒面精度。對盤形砂輪磨削面齒輪的包絡(luò)殘差規(guī)律進行研究，將有助于在保證面齒輪表面粗糙度的情況下，確定合理的加工工藝參數(shù)并提高面齒輪的磨削效率。根據(jù)盤形砂輪加工面齒輪的特點，采用參考文獻中漸開線碟形砂輪齒廓包絡(luò)磨削面齒輪的數(shù)值模擬方法，來計算盤形砂輪磨削面齒輪產(chǎn)生的包絡(luò)殘差。

　　對于表1給定的面齒輪和盤形砂輪的設(shè)計參數(shù)，各瞬時包絡(luò)殘差線及包絡(luò)殘差值的分布情況 如圖8所示。面齒輪單側(cè)齒面上共有35條包絡(luò)殘差線，并且沿其齒寬方向傾斜分布，為了便于顯示，部分包絡(luò)殘差線采用黑點代替，并標(biāo)記上包絡(luò)殘差值。面齒輪內(nèi)徑處的包絡(luò)殘差線較外徑處稠密，包絡(luò)殘差值在等齒高位置處從內(nèi)徑到外徑逐漸增大，在等齒寬位置處從齒根到齒頂也逐漸增大，因此面齒輪的最大包絡(luò)殘差出現(xiàn)在外徑齒頂處，本算例中最大包絡(luò)殘差值為13.7μm。

表1 面齒輪及盤形砂輪的參數(shù)

　　當(dāng)盤形砂輪以不同的頂刃圓弧半徑r和轉(zhuǎn)距角 ΔΦ^* 進行加工時，面齒輪的最大包絡(luò)殘差變化情況如圖9所示。隨著頂刃圓弧半徑r的逐漸增大，最大包絡(luò)殘差呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢;隨著刀具周向進給次數(shù)的增大，即轉(zhuǎn)距角 ΔΦ^* 減小，最大包絡(luò)殘差呈非線性遞減的變化。由于這種加工方法 需要盤形砂輪沿著齒寬方向連續(xù)進給，因此面齒輪的包絡(luò)殘差與盤形砂輪旋轉(zhuǎn)半徑R的大小無關(guān)。

　　四、面齒輪的仿真加工

　　面齒輪磨削數(shù)控規(guī)律：針對盤形砂輪磨削面齒輪的運動關(guān)系，選用如圖10所示的四軸數(shù)控機床結(jié)構(gòu)。4個數(shù)控運動軸分別為3個平行移動軸(X、Y、Z)和1個旋轉(zhuǎn)軸B。盤形砂輪繞著機床主軸高速旋轉(zhuǎn)對面齒輪 進行磨削加工；X、Y、Z 三軸聯(lián)動控制盤形砂輪沿著兩齒面間的接觸線進給運動；B 軸控制面齒輪的展成運動和分度運動。盤形砂輪的磨削運動、進給運動和面齒輪的展成運動三者相互獨立，互不干涉。由于盤形砂輪一次只能磨削出面齒輪的一側(cè)齒面，當(dāng)同一側(cè)齒面加工完成后，盤形砂輪需要沿著機床 X 軸方向移動到面齒輪的另一端，進而加工出另一側(cè)齒面。

　　根據(jù)上述四軸數(shù)控機床的結(jié)構(gòu)特點，建立相對應(yīng)的機床運動坐標(biāo)系統(tǒng)來表示盤形砂輪磨削面齒輪的加工過程，如圖11所示。S_a為盤形砂輪的機床固定坐標(biāo)系，其中x_a 為砂輪的旋轉(zhuǎn)軸，與機床主軸固連；S_n、S₂ 分別為面齒輪的機床固定坐標(biāo)系和運動坐標(biāo)系，其中z₂ 為面齒輪的旋轉(zhuǎn)軸，與B 旋轉(zhuǎn)軸固連；S_c 為輔助坐標(biāo)系與機床機架剛性固連。坐標(biāo)系S_a 到S₂ 的變換矩陣為 M^c_2a ，由式 (13)表示。

　　假定選取坐標(biāo)原點 O₂ 作為盤形砂輪磨削面齒輪的數(shù)控程序零點，C_X 、C_Y 、C_Z 分別表示盤形砂輪沿著機床X、Y、Z 軸方向的移動距離，C_B 表示面齒輪的機床轉(zhuǎn)動角度。當(dāng)盤形砂輪磨削非正交面齒輪時，機床需要添加專門的夾具來調(diào)整面齒輪的加工位置，即滿足面齒輪的機床軸夾角γ_c。

　　根據(jù)運動等效原則(式(14))并結(jié)合嚙合方程 (式(12))，推導(dǎo)出盤形砂輪磨削面齒輪的數(shù)控運動規(guī)律，即用兩個參數(shù)變量 u_s、Φ_s 來 分 別 確 定 C_X 、C_Y 、C_Z 和C_B，由式(15)表示。

　　式中上標(biāo)c、a分別表示盤形砂輪磨削面齒輪的數(shù)控生成方法和理論生成方法，其中i_2s=N_s/N₂。

　　仿真加工及齒面對比分析：根據(jù)表1所示的設(shè)計參數(shù)，取轉(zhuǎn)矩角 ΔΦ* = 0.5°并結(jié)合盤形砂輪磨削面齒輪的運動規(guī)律(式 (15))編寫相應(yīng)的數(shù)控加工程序。在 VERICUT 軟件中構(gòu)建機床模型、刀具模型和面齒輪毛坯模型并進行仿真加工。

　　將仿真結(jié)果以stereolithography(STL)文件類型導(dǎo)出，如圖 12 所示。以面齒輪的理論齒面 (7×13網(wǎng)格齒面)作為測量基準，通過提取STL 模型對應(yīng)網(wǎng)格節(jié)點的坐標(biāo)值來測量加工齒面的偏差，測量結(jié)果如圖13所示。

　　左側(cè)齒面的最大偏差為-0μm，最小偏差為 -4.3μm;右側(cè)齒面的最大偏差為4.7μm，最小偏差為0μm。由圖9可知刀具頂刃圓弧半徑r= 2.0mm 以及轉(zhuǎn)距角 ΔΦ* =0.5°時，面齒輪齒面的 最大包絡(luò)殘差值為3.4μm。這些誤差是由VER- ICUT 的模型轉(zhuǎn)換和數(shù)控插值公差引起的。在 VERICUT軟件中，模型轉(zhuǎn)換和數(shù)控插值公差 為 0.05mm。結(jié)果表明測得的齒面偏差足夠小，從而驗證了本文所提出加工方法的正確性和可行性。

　　五、結(jié)論

　　1)設(shè)計頂刃帶有圓弧的盤形砂輪對插齒刀齒面進行仿形，并建立面齒輪的數(shù)學(xué)模型。

　　2)提出以兩齒面間的接觸線作為盤形砂輪的刀位軌跡，多線包絡(luò)磨削面齒輪的加工方法，可有效避免面齒輪磨削過程中盤形砂輪的干涉。

　　3)對面齒輪齒面的包絡(luò)殘差進行計算，并探究了最大包絡(luò)殘差與刀具頂刃圓弧半徑以及轉(zhuǎn)距角的關(guān)系，有助于在保證面齒輪齒面精度的情況下，確定合理的加工工藝參數(shù)。

　　4)推導(dǎo)出盤形砂輪磨削面齒輪的數(shù)控運動規(guī)律，并在 VERTCUT 軟件中進行仿真加工，將仿真結(jié)果與理論齒面進行對比分析。結(jié)果表明測得的齒面偏差足夠小，從而驗證了本文所提出加工方法的正確性和可行性。