磨齒加工時(shí)齒坯幾何中心與回轉(zhuǎn)工作臺(tái)軸心存在安裝偏心誤差，降低了磨齒加工精度。以數(shù)控成型砂輪磨齒機(jī)工作原理為基礎(chǔ)，建立偏心誤差磨削加工幾何模型;提出安裝偏心誤差補(bǔ)償法，建立偏心誤差補(bǔ)償數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)模型求出磨削砂輪在 X、Y 兩個(gè)方向的進(jìn)給補(bǔ)償增量;以 YK73125數(shù)控成型砂輪磨齒機(jī)為例，進(jìn)行安裝偏心誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，齒輪的左右齒面單個(gè)齒距極限偏差絕對(duì)值分別減小了0.9μm和1.6μm，齒距累積總偏差絕對(duì)值分別減小了49.6μm和43.3μm。結(jié)果表明：安裝偏心誤差與單個(gè)齒距偏差和齒距累積總偏差成正比;采用安裝偏心誤差補(bǔ)償進(jìn)行磨齒加工，有效地減小了單個(gè)齒距偏差和齒距累積總偏差，齒輪的精度有所提高。

　　齒輪是現(xiàn)代機(jī)械中應(yīng)用最廣泛的傳動(dòng)零件。它具有傳動(dòng)平穩(wěn)和傳動(dòng)比準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)，也是航空發(fā)動(dòng)機(jī)中的重要零件。航空發(fā)動(dòng)機(jī)中的齒輪制造精度直接影響其傳動(dòng)的性能和安全，因此航空齒輪都屬于高精度齒輪。磨齒加工是獲得高精度齒輪常用的加工方法，數(shù)控成型磨齒機(jī)是磨齒加工的重要裝備。

　　關(guān)于如何提高成型砂輪磨齒加工的精度，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了很多研究。國(guó)外，N.Yoshino等提出了修正砂輪廓形和試算砂輪位置兩種齒廓偏差補(bǔ)償方法，提高齒輪磨削精度;Y.Kobayash等建立了由齒廓偏差求解砂輪安裝誤差的數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行砂輪廓形修整，提高磨齒精度;S.R.Park等基于齊次坐標(biāo)變換提出一種制造機(jī)床的綜合誤差建模方法;A.W.Khan等和 ZhaoY 等采用變換矩陣、解析二次型、多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)解決磨齒機(jī)制造誤差的問(wèn)題。國(guó)內(nèi)，李平等、宋洪俠等、和張虎等研究了磨齒過(guò)程中安裝偏心誤差與齒廓誤差的關(guān)系，減小了齒輪齒廓誤差;張立功等分析了成形法對(duì)磨削斜齒輪的齒形誤差的影響;李國(guó)龍等針對(duì)拓?fù)湫扌锡X輪的成形磨削誤差提出了一種砂輪廓形優(yōu)化方法;YuChunjian等針對(duì)物理場(chǎng)中耦合條件下的重型數(shù)控回轉(zhuǎn)工作臺(tái)的動(dòng)靜態(tài)精度進(jìn)行了系統(tǒng)研究;石楓論述了合理選擇磨齒余量的形式、磨齒余量等因素是提高磨齒質(zhì)量的基本條件以及蝸桿砂輪對(duì)中性對(duì)被加工齒輪齒形對(duì)稱性的影響;梅軍炎等通過(guò)磨齒方法進(jìn)而提高磨齒質(zhì)量。綜上所述，針對(duì)如何提高磨齒精度國(guó)內(nèi)外的研究主要集中在磨齒余量，工裝夾具、降低磨齒機(jī)的安裝制造誤差，提高回轉(zhuǎn)工作臺(tái)精度，修整砂輪刀具廓形等方面，對(duì)于如何在磨齒加工過(guò)程中在線減小齒輪誤差研究較少。

　　本文以成型砂輪磨齒機(jī)的工作原理為基礎(chǔ)，針對(duì)直齒圓柱齒輪磨削加工時(shí)安裝偏心誤差對(duì)單個(gè)齒距偏差和齒距累積總偏差的影響，提出磨齒加工時(shí)通過(guò)成型砂輪在x、y 方向的進(jìn)給補(bǔ)償增量來(lái)減小齒輪的單個(gè)齒距偏差和齒距累積總偏差，以期減小齒輪誤差，提高齒輪傳動(dòng)的精度。

　　一、 砂輪成型磨齒加工原理

　　磨齒加工是提高齒輪精度的常見工藝，磨齒機(jī)是磨齒加工的常用設(shè)備。目前我國(guó)多采用數(shù)控成型砂輪磨齒機(jī)進(jìn)行磨齒加工，數(shù)控砂輪成型砂輪磨齒機(jī)示意圖如圖1所示。數(shù)控轉(zhuǎn)臺(tái)沿C軸方向的旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)工件(齒坯)分度轉(zhuǎn)動(dòng);x軸方向?qū)崿F(xiàn)砂輪架的進(jìn)給和快退，磨齒加工中砂輪架進(jìn)給運(yùn)動(dòng)稱為徑向運(yùn)動(dòng);z軸方向?qū)崿F(xiàn)砂輪在被加工齒輪齒向的往復(fù)運(yùn)動(dòng);y軸方向?qū)崿F(xiàn)砂輪架切向運(yùn)動(dòng)，保證砂輪始終用新的面來(lái)磨削工件。在磨斜齒輪時(shí)，砂輪需要傾斜一個(gè)螺旋角，通過(guò)滑座沿A軸的旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)。其中z軸和C軸屬于磨削運(yùn)動(dòng)軸，y軸屬于砂輪修整軸，x軸主要用于磨削工件進(jìn)刀時(shí)使用。當(dāng)進(jìn)行磨削時(shí)，z軸和C軸形成聯(lián)動(dòng)關(guān)系，砂輪的軸線與齒坯的軸線垂直，砂輪截形的中心線與齒槽截形中心線重合，利用成型的砂輪廓形磨削輪齒的漸開線齒廓。

　　二、 齒坯安裝偏心誤差對(duì)磨齒精度的影響

　　磨齒精度取決于磨齒機(jī)的制造精度、砂輪刀具的廓形精度以及齒坯的安裝精度。本文主要研究齒坯的安裝精度對(duì)磨齒精度的影響。齒輪傳動(dòng)最基本的要求是傳動(dòng)平穩(wěn)、瞬時(shí)傳動(dòng)比準(zhǔn)確。在齒輪的各項(xiàng)誤差指標(biāo)中，傳動(dòng)的平穩(wěn)性和傳動(dòng)比準(zhǔn)確性主要由輪齒的單個(gè)齒距偏差和齒距累積總偏差決定的。

　　在齒輪端平面上，以齒坯中心為圓心，圓心到齒高中部的距離為半徑存在一個(gè)圓稱為實(shí)際分度圓。實(shí)際分度圓截得相鄰兩輪齒同側(cè)齒面間所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)稱為實(shí)際齒距。實(shí)際齒距與理論齒距的差值稱為單個(gè)齒距偏差fpt，它反映了一個(gè)齒距角內(nèi)的分度精度以及輪齒在圓周上分布的均勻性。齒距累積總偏差 Fp 是指在齒輪同側(cè)齒面任意弧長(zhǎng)(k=1至k=z)內(nèi)的最大齒距累積偏差，它表現(xiàn)為齒距累積偏差曲線的總幅度值，F(xiàn)p 為絕對(duì)值，它反映了齒輪旋轉(zhuǎn)一圈的轉(zhuǎn)角誤差以及一圈內(nèi)傳動(dòng)比最大變動(dòng)量。

　　綜上所述，單個(gè)齒距偏差fpt是指兩個(gè)輪齒間同側(cè)齒面上在分度圓上弧長(zhǎng)尺寸的偏差，影響齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性。齒距累積總偏差 Fp 是指單個(gè)齒距偏差累積起來(lái)產(chǎn)生的總偏差，影響齒輪傳動(dòng)比的準(zhǔn)確性。齒距累積總偏差是由每個(gè)輪齒的單個(gè)齒距偏差共同作用引起的。

　　磨齒加工時(shí)，齒坯安裝在回轉(zhuǎn)工作臺(tái)上，因存在齒坯精度誤差，回轉(zhuǎn)工作臺(tái)制造誤差和人為安裝誤差，導(dǎo)致齒坯的幾何中心與數(shù)控回轉(zhuǎn)工作臺(tái)的回轉(zhuǎn)中心存在偏心誤差。偏心誤差加工模型如圖2所示。其齒坯幾何中心O1與數(shù)控回轉(zhuǎn)臺(tái)的中心O有安裝偏心ej 。實(shí)線圓為加工節(jié)圓，虛線圓為理論節(jié)圓。理論節(jié)圓上的輪齒應(yīng)均勻分布，但加工時(shí)由于齒坯安裝偏心誤差的存在，導(dǎo)致輪齒在加工節(jié)圓上均勻分布。假設(shè)在切削節(jié)圓的中心角θ范圍內(nèi)，均勻分布k個(gè)輪齒，因理論節(jié)圓與加工節(jié)圓不重合，輪齒在理論節(jié)圓分布不均勻，產(chǎn)生單個(gè)齒距偏差和齒距累積總偏差，降低了齒輪精度。

　　以“左齒面”為例，分析理論節(jié)圓上的實(shí)際位置與其理論位置之間的差距。由圖2可知，在理論節(jié)圓上，ej 值很小，近似由弧長(zhǎng)代替，第一個(gè)齒實(shí)際位置與理論位置相距弧長(zhǎng)近似等于ejtgα。因此，第k個(gè)齒的實(shí)際位置與理論位置相距弧長(zhǎng)為

　　式中：e_j 為偏心誤差；α 單位為分(文中α 單位與此相同)。

　　當(dāng)式(1)等于0時(shí)，即 Δt=e_jsinθ+e_jcosθtgα=0，可得tgθ=-tgα。當(dāng)θ=-α 或θ=π-α 時(shí)，Δt=0，則該輪齒“左齒面”在理論節(jié)圓上的實(shí)際位置與理論位置是重合的。

　　對(duì)式(1)式進(jìn)行微分，即， ，并令其為0，則可得：

　　當(dāng)θ=90°-α 或θ=270°時(shí)，Δt為最大值或最小值，則該輪齒“左齒面”在理論節(jié)圓上的實(shí)際位置與理論位置相差最大。當(dāng)θ=90°-α 時(shí)，sinθ= cosα，而 cosθ=sinα，將其帶入式 (1)得：Δt_max = e_j(cosα+sinα tgα)=

      同理，當(dāng)θ=270°-α 時(shí)，sinθ=-cosα，而cosθ=-sinα，帶入式(1)，得：，所以當(dāng)存在偏心誤差時(shí)，齒距累積總偏差為式(2)。

　　當(dāng)α=20°時(shí)，Δt_∑ =2.13e_j，將 Δt_max的e_j 帶入式(1)，可得：

　　式(3)表示輪齒“左齒面”的累積偏差，即它們?cè)诶碚摴?jié)圓上的實(shí)際位置與理論位置之間相距的弧長(zhǎng)。

　　同理，“右齒面”的累積偏差為式(4)。

　　在式(3)和式(4)中，Δt_max=e_j/cosα。齒距累積總偏差曲線，如圖3所示。其中，圖(a)中的y軸 Δt表示各齒“左齒面”的齒距累積總偏差，圖(b)中的y軸Δt表示“右齒面”的齒距累積總偏差，x 軸 θ表示相位角。

　　偏心距對(duì)于齒距累積總偏差以最大齒距差作為振幅呈三角函數(shù)變化，各齒的次序以相位角θ表示，其波峰值和波谷值均為最大和最小的齒距差。安裝位置和齒輪參數(shù)決定了壓力角 α 和初相位θ。

　　由于單個(gè)齒距偏差影響齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性，同時(shí)影響齒距累積總偏差，而齒距累積總偏差影響齒輪傳動(dòng)比的正確性。由式(2)可知，當(dāng)壓力角α 一定時(shí)，齒距累積總偏差與安裝偏心誤差ej成正比關(guān)系。因此，當(dāng)齒坯安裝偏心誤差增大時(shí)，導(dǎo)致磨齒加工時(shí)單個(gè)齒距偏差和齒距累積總偏差增加，降低了齒輪精度以及傳動(dòng)的平穩(wěn)性和傳動(dòng)比的準(zhǔn)確性。本文提出磨削加工偏心誤差補(bǔ)償法，以期提高齒輪傳動(dòng)精度。

　　三、 磨削加工偏心誤差補(bǔ)償

　　磨齒加工時(shí)，齒坯存在偏心，砂輪刀具相對(duì)齒坯孔軸心線的徑向距離和切向距離產(chǎn)生變化，因此需要調(diào)整砂輪在x軸、y軸方向上的進(jìn)給量。以機(jī)床的固定中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Ox 為徑向運(yùn)動(dòng)軸(x軸)，Oy 為砂輪軸向進(jìn)給軸(y軸)。偏心磨削加工輪齒分布圖，如圖4所示。

　　第一個(gè)齒的加工，齒坯是以 O1 為圓心，砂輪在p1f 的位置，砂輪的徑向位置與齒坯的幾何圓心、機(jī)床工作臺(tái)的旋轉(zhuǎn)中心 O 在同一條直線上。所以在此位置，砂輪在x軸方向上和y軸方向上的進(jìn)給增量應(yīng)分別為：Δx1=e，Δy1=0。然后工作臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸C軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)分度角Φ(齒輪在分度過(guò)程中逆時(shí)針旋轉(zhuǎn))，開始第二個(gè)齒加工，在齒坯安裝無(wú)偏心的情況下，砂輪進(jìn)給方向必須要求和工件的直徑方向一致，而且總是在 x 軸上。存在偏心距e的情況下，如果砂輪進(jìn)給方向仍然保持在x軸方向上不變，磨削加工的輪齒是不準(zhǔn)確的，應(yīng)對(duì)砂輪的位置調(diào)整，使得砂輪沿切向軸方向，到達(dá)p2m的位置，且在x軸方向上和齒坯的圓心O2 在同一水平位置。因此，砂 輪在x 軸方向上和y軸方向上的進(jìn)給增量為：Δx2=ecosΦ，Δy2=esinΦ。加工到第三個(gè)齒時(shí)，砂輪在x軸方向上和y軸方向上的進(jìn)給增量分別為：Δx3=ecos2Φ，Δy3=esin2Φ。由此類推，加工第k個(gè)齒時(shí)，砂輪在x軸方向上和y軸方向上的進(jìn)給增量為式(5)。

　　由于幾何偏心的方向與磨削加工方向的起始位置之間存在夾角θ，引入矢量e對(duì)砂輪磨削起始點(diǎn)的初始相位角θ，得到齒坯安裝偏心引起的砂輪在x軸方向上進(jìn)給增量 Δx和y軸方向上進(jìn)給增量 Δy的進(jìn)給增量的關(guān)系表達(dá)式(式(6))。

　　式中：e 為偏心量;θ為初始相位角;Φ 為分度角 (360/z)；Δx 為x 軸的進(jìn)給增量；Δx 為y軸的進(jìn)給增量。

　　從式(6)可以看出：砂輪x軸方向進(jìn)給增量以幾何偏心e為振幅呈余弦變化，y 軸方向進(jìn)給增量以幾何偏心e為振幅呈正弦變化。通過(guò)式(6)可以計(jì)算成型砂輪在x軸和y軸方向上進(jìn)給補(bǔ)償增量 Δx 和 Δx。

　　四、 磨齒加工偏心誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

　　在 YK73125 數(shù)控成形磨齒機(jī)的 CAM 系統(tǒng)中，嵌入齒坯安裝偏心誤差補(bǔ)償模塊，用戶測(cè)量并輸入安裝偏心誤差e，在 CAM 系統(tǒng)中計(jì)算砂輪在 x，y 兩軸方向上進(jìn)給補(bǔ)償增量的 Δx 和 Δy，完成偏心誤差補(bǔ)償磨齒加工。

　　普通砂輪成型磨齒實(shí)驗(yàn)：利用 YK73125數(shù)控成型砂輪磨齒機(jī)進(jìn)行磨齒實(shí)驗(yàn)，加工齒輪精度可達(dá)到5級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，磨齒機(jī)要求安裝偏心距小于0.004 mm。待加工標(biāo)準(zhǔn)漸開線，直齒圓柱齒輪主要參數(shù)：Z=35，m =16，實(shí)際測(cè)量安裝偏心誤差0.003mm，安裝偏心誤差滿足磨齒機(jī)要求，未采用偏心誤差補(bǔ)償進(jìn)行磨齒加工，對(duì)每個(gè)輪齒的左右齒面進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如圖5～圖6所示。

　　通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，左齒面單個(gè)齒距極限偏差f_p=8.5μm，齒距累積總偏差F_p=65.4μm；右齒單個(gè)齒距極限偏差f_p=-7.7μm，齒距累積總偏差F_p=66μm。

　　偏心誤差補(bǔ)償磨齒實(shí)驗(yàn)：采用偏心誤差補(bǔ)償加工相同參數(shù)的齒輪，為了體現(xiàn)補(bǔ)償效果，實(shí)驗(yàn)采用較大的偏心距。測(cè)量安裝偏心距e=0.036mm。根據(jù)砂輪進(jìn)給增量表達(dá)式，在 CAM 系統(tǒng)中進(jìn)行進(jìn)給增量補(bǔ)償計(jì)算，得到磨削 35個(gè)齒的進(jìn)給補(bǔ)償增量Δxi、Δyi，如表1所示。通過(guò)35個(gè)齒的進(jìn)給補(bǔ)償增量Δxi、Δyi，采用偏心誤差補(bǔ)償進(jìn)行磨齒。測(cè)量結(jié)果如圖 7～ 圖 8所示 ?！　?/p>

　　通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，左齒面單個(gè)齒距極限偏差f_p=7.6μm，齒距累積總偏差F_p=15.8μm；右齒單個(gè)齒距極限偏差f_p=6.1μm，齒距累積總偏差F_p=22.7μm。

　　實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析： 通過(guò)對(duì)上述左右齒面的齒距累積總偏差(Fp)和單個(gè)齒距偏差(fp)的測(cè)量曲線分析計(jì)算，得到的實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)，如表2所示。

　　從表2可以看出：采用偏心誤差補(bǔ)償加工，左右齒面單個(gè)齒距極限偏差和齒距累積總偏差與未采用補(bǔ)償加工相比較，左右齒面單個(gè)齒距極限偏差和齒距累積總偏差的絕對(duì)值有了顯著減小，表明安裝偏心誤差對(duì)磨齒加工的誤差存在顯著影響。

　　同時(shí)，從表2可以看出：存在較大偏心誤差的情況下，采用偏心誤差補(bǔ)償進(jìn)行磨齒。齒輪的左齒面單個(gè)齒距極限偏差絕對(duì)值減小了0.9μm，齒距累積總偏差減小了49.6μm；右齒面單個(gè)齒距極限偏差絕對(duì)值減小了1.6μm，齒距累積總偏差減小了43.3μm。采用偏心誤差補(bǔ)償進(jìn)行磨齒，可以減小單個(gè)齒距極限偏差和齒距累積總偏差。

　　根據(jù)ISO1328標(biāo)準(zhǔn)查得：5級(jí)精度標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪，模數(shù) m =16，齒數(shù) Z=35，分度圓直徑 D =560mm，齒距累積總偏差F_p=36.0μm，單個(gè)齒距極限偏差f_p=10.0μm。未補(bǔ)償?shù)哪X加工，導(dǎo)致齒輪左右兩個(gè)齒面齒距累積總偏差F_p，左齒面單個(gè)齒距極限偏差f_p均未能達(dá)到5級(jí)精度標(biāo)準(zhǔn)。采用安裝偏心誤差補(bǔ)償?shù)姆椒ㄟM(jìn)行磨齒，所得齒輪的單個(gè)齒距極限偏差和齒距累積總偏差均可達(dá)到 5級(jí)精度標(biāo)準(zhǔn)要求。

　　五、 結(jié)論

　　(1)本文以數(shù)控成型砂輪磨齒機(jī)工作原理為基礎(chǔ)，建立了安裝偏心誤差加工幾何模型，當(dāng)齒輪壓力角α一定時(shí)，單個(gè)齒距誤差和齒距累積總偏差與安裝偏心誤差ej成正比關(guān)系。當(dāng)齒坯安裝偏心誤差增大時(shí)，導(dǎo)致磨齒加工時(shí)單個(gè)齒距偏差和齒距累積總偏差增加，降低齒輪精度。

　　(2)本文提出了基于磨齒加工的安裝偏心誤差補(bǔ)償法，建立了磨齒加工偏心誤差補(bǔ)償數(shù)學(xué)模型，通過(guò)計(jì)算得出磨齒加工時(shí)成型砂輪徑向和切向的進(jìn)給補(bǔ)償增量。磨齒加工時(shí)，調(diào)整砂輪的進(jìn)給補(bǔ)償增量，可減小被加工齒輪的單個(gè)齒距偏差和齒距累積總偏差。

　　(3)通過(guò) YK73125數(shù)控成型砂輪磨齒機(jī)進(jìn)行偏心誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，齒輪的左右齒面單個(gè)齒距極限偏差絕對(duì)值分別減小了0.9μm 和1.6μm，齒距累積總偏差絕對(duì)值分別減小了49.6μm 和43.3μm。采用偏心誤差補(bǔ)償法進(jìn)行磨齒加工減小了安裝偏心誤差對(duì)齒輪精度的影響，提高了齒輪精度，從而為高精度航空齒輪的磨削加工提供了可靠的理論支持。