01問題的提出

　　齒輪倒棱能有效避免毛刺損傷齒面， 并減小齒輪熱處理時(shí)的應(yīng)力集中。齒輪倒棱在一定程度上能降低齒輪嚙合噪聲， 提高齒輪傳動(dòng)精度， 延長(zhǎng)齒輪使用壽命，是齒輪加工環(huán)節(jié)中的一道重要工序 。齒輪倒棱分為齒廓倒棱、 齒頂?shù)估馀c齒向倒棱， 如圖1所示。

　　傳統(tǒng)的齒輪倒棱工藝是將棱邊加工成45°左右的斜面， 但同時(shí)會(huì)產(chǎn)生新的棱邊，無法完全消除棱邊處的應(yīng)力集中問題 。在高速重載的高可靠性傳動(dòng)要求場(chǎng)合，有弧面倒棱的要求?；∶娴估馐怯脠A面或其它二次曲面光滑連接嚙合面、上下齒面與齒頂圓面，從而完全 消除齒輪的棱邊， 可以最大限度減小熱處理時(shí)的應(yīng)力集中，在極端工況中應(yīng)用廣泛 ?；∶娴估馔瑯臃譃辇X頂弧面倒棱、 齒向弧面倒棱與齒廓弧面倒棱，其中齒廓弧面倒棱最復(fù)雜，且大多采用手工打磨的方式，生產(chǎn)效率低，加工質(zhì)量差。可見，實(shí)現(xiàn)高效的齒廓弧面倒棱是迫切需求。

　　02齒廓弧面擠棱工藝

　　針對(duì)齒輪的不同位置，倒棱工藝也不相同。齒頂?shù)估庖话惆才旁邶X輪毛坯加工階段，采用車削工藝。齒向倒棱安排在滾齒或磨齒工藝中， 通過改變滾刀或砂輪齒根處的廓形加工得到。齒廓倒棱工藝相對(duì)復(fù)雜，針對(duì)不同的工況條件可以選擇銑削、磨削、刨削、擠削等加工方式。以下針對(duì)齒廓倒棱工藝進(jìn)行具體分析。

　　銑棱工藝：采用高速旋轉(zhuǎn)的指狀銑刀，沿著齒廓軌跡方向進(jìn)行銑削，切除待加工棱邊。銑棱工藝具有方法簡(jiǎn)單、刀具通用性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，但加工效率低。此外， 為保持刀具強(qiáng)度，銑刀有最小半徑的限制要求，導(dǎo)致加工小模數(shù)齒輪時(shí)在靠近齒根位置會(huì)發(fā)生干涉。

　　磨棱工藝：磨棱工藝分為片狀砂輪磨與蝸桿砂輪磨。片狀砂輪磨的原理與銑棱工藝相同，也是沿齒廓軌跡方向進(jìn)行磨削，同樣存在效率低、加工干涉問題。蝸桿砂輪磨與傳統(tǒng)的磨齒工藝類似，磨棱砂輪的齒厚比磨齒砂輪的齒厚大，磨削時(shí)只加工端面，不作齒向進(jìn)給，采用展成原理加工齒廓棱邊，效率較高，但是磨棱形狀難以控制 。

　　擠棱工藝：采用如圖2所示盤狀擠棱刀與待加工齒輪強(qiáng)制嚙合，擠除齒輪棱邊上的多余材料。這樣去除材料的方法與傳統(tǒng)切削相比，會(huì)產(chǎn)生大量飛邊，且表面粗糙度值較大。而另一方面，擠棱工藝采用展成原理，效率較高，且不易產(chǎn)生干涉，同時(shí)對(duì)于內(nèi)齒輪、錐齒輪等同樣適用。擠棱工藝最大的優(yōu)點(diǎn)是可以改變擠棱刀的廓形，控制擠棱形狀，適用于加工復(fù)雜的倒棱形式。綜合比較上述多種齒廓倒棱方法， 齒廓弧面倒棱最適合采用擠棱工藝加工， 擠棱工藝的關(guān)鍵是求解擠棱刀廓形。

　　03擠棱刀廓形設(shè)計(jì)

　　將擠棱刀廓形看作倒棱后齒輪的共軛齒形， 求解這一共軛齒形需要先對(duì)齒廓弧面倒棱進(jìn)行建模， 確定倒棱后齒面方程的解析式， 再將解析式及法向量代入嚙合方程，同時(shí)進(jìn)行坐標(biāo)變換。

　　齒廓弧面倒棱建模：建立倒棱坐標(biāo)系，如圖3所示。倒棱坐標(biāo)系以齒廓 漸開線法線方向?yàn)閄軸，切線方向?yàn)閅軸，豎直方向?yàn)閆軸，則X-Z平面組成齒廓漸開線的法平面。在法平面內(nèi)，齒廓弧面倒棱可看作由無數(shù)條圓弧組成，圓弧的起點(diǎn)、終點(diǎn)分別與上端面、齒面相切。X-Y平面是齒輪的端面， 在每一端面上， 倒棱齒廓又可看作漸開線齒廓沿法線方向的偏移，則倒棱后的齒面(倒棱面)與倒棱前的齒面(漸開面)的關(guān)系為：

　　式中：r_c 為倒棱面的矢量方程;r_i為漸開面的矢量方程;L為偏移向量，其大小是倒棱面與原始齒面的水平距離，方向是漸開面的法線方向;N_i為漸開面的水平面法向量。就圓柱斜齒輪而言，齒面是與豎直面成一漸變角度的螺旋漸開面，該角度用β_t表示：

　　式中：β為齒輪螺旋角;R_pitch為分度圓半徑;R_t為齒輪任意一點(diǎn)的半徑。在倒棱坐標(biāo)系的X-Z平面內(nèi)，齒廓弧面倒棱的廓形如圖4所示。

　　圖4中R為圓弧半徑;x₀與z₀分別為圓弧起點(diǎn)與終點(diǎn)的位置，(x₀，-R)為圓心坐標(biāo)。以左齒面為例，由幾何關(guān)系可得：

　　圓弧上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，z)為：

　　式中：α為圓弧的自變量。則L可看作α的函數(shù)L(α)，為：

　　將 L(α)與螺旋漸開面方程[x_i y_i z_i]T 、漸開面水平面法向量[N_Xi N_Yi 0]^T 代入式(1)，可得到左齒面的倒棱面關(guān)于參數(shù)α與θ的方程：

　　式中：θ₁為漸開線的起始展角;θ₂為漸開線的終止展角;θ與ε為螺旋漸開面方程的參數(shù)，且ε為關(guān)于α的函數(shù)。定義螺旋參數(shù) k=tanβ/R_pitcn，則Z軸坐標(biāo)z_c=ε/k，同時(shí)z_c=Rsinα-R，解得：ε=k(Rsin α-R) (7)

　　右齒面的齒廓弧面倒棱同理，由幾何關(guān)系得：

　　圓弧上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，z)為：

　　L(α)為：

　　將L(α)與螺旋漸開面方程[x_i y_i z_i]^T 、漸開面水平面法向量[N_Xi N_Yi 0]^T 代入式(1)，可得到右齒面的倒棱面關(guān)于參數(shù) α 與θ的方程：

　　式中：γ為分度圓上左右齒面之間的轉(zhuǎn)角。根據(jù)式(6)、式(11)，可在MATLAB軟件中建立齒廓弧面倒棱模型 ，如圖5所示。

　　擠棱刀廓形計(jì)算：求解擠棱刀廓形時(shí)采用齒廓法線法 。擠棱刀與齒輪的嚙合關(guān)系相當(dāng)于兩個(gè)直齒外齒輪的平行軸傳動(dòng)， 建立齒輪與刀具坐標(biāo)系， 如圖6所示。

　　設(shè) S₁-X₁Y₁為與齒輪固連的齒輪坐標(biāo)系 ，S₂ -X₂Y₂ 為與擠棱刀固連的刀具坐標(biāo)系，S_p-X_pY_p與 S_f-X_f Y_f 為固定的輔助坐標(biāo)系，ρ₁、ρ₂分別為齒輪與刀具的節(jié)圓半徑，ф₁、ф₂分別為某一瞬時(shí)齒輪與刀具轉(zhuǎn)過的角度，則中心距E=ρ₁+ρ₂，傳動(dòng)比n=ф₂/ф₁。令 m=1+n，則 ф₁+ф₂=ф₁+nф₁=mф₁。擠棱刀的齊次坐標(biāo)矩陣r₂ 可表示為：

　　式中：r₁為倒棱面的齊次坐標(biāo)矩陣;T₂₁ 為 S₁-X₁Y₁ 到 S₂-X₂Y₂ 的坐標(biāo)變換矩陣;T_2p 為 S_p-X_pY_p 到 S₂-X_2Y2 的坐標(biāo)變換矩陣;T_pf 為 S_f-X_f Y_f 到 S_p-X_pY_p 的坐標(biāo)變換矩陣;T_f1為 S₁-X₁Y₁ 到 S_f -X_f Y_f 的坐標(biāo)變換矩陣。根據(jù)坐標(biāo)變換式 ，有：

　　計(jì)算轉(zhuǎn)角 ф₁ 與 ф₂ 時(shí)， 需要借助齒輪嚙合原理方程：

　　式中：坐標(biāo)系中的齒廓法向量;為坐標(biāo)系中刀具對(duì)齒輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。

　　法向量經(jīng)坐標(biāo)變換后有：

　　式中：坐標(biāo)系中的齒廓法向量;M₂₁為法向量的坐標(biāo)變換矩陣。

　　根據(jù)式(6)、式(11)，可以求得左右倒棱面的法向量 ：

　　式中：i、j、k依次為X軸、Y軸、Z軸的單位矢量。

　　相對(duì)速度可看作坐標(biāo)系中倒棱面對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：

　　式中：ω 為角速度。將式(18)、式(20)代入式(17)，求解方程即可得到ф₁，再將ф₁、ф₂=nф₁代入式(16)，求解T₂₁，并代入式(12)， 最終求得擠棱刀廓形。在MATLAB軟件中繪制擠棱刀廓形， 如圖7所示。

　　將計(jì)算得到的擠棱刀廓形導(dǎo)入三維繪圖軟件，生成曲面特征，同時(shí)結(jié)合毛刺刮盤、刀體與刀架的連接等結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，最終得到弧面擠棱刀，如圖8所示。加工時(shí)擠棱刀與齒輪相嚙合的工作面如圖9所示， 需要說明的是， 筆者只針對(duì)擠棱刀工作面的廓形進(jìn)行設(shè)計(jì)，并不涉及變位距離、刀具后角、刀具根隙等。

　　齒廓弧面倒棱可以實(shí)現(xiàn)齒面與端面的光滑過渡，筆者提出了擠棱刀加工齒廓弧面倒棱的方法，通過齒輪嚙合原理，計(jì)算并設(shè)計(jì)出擠棱刀工作區(qū)域的廓形，為下一步進(jìn)行完整的擠棱刀設(shè)計(jì)打下了基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)出完整的擠棱刀，可以在一定程度上解決當(dāng)前齒廓弧面倒棱仍靠手工打磨的問題，提高加工效率與倒棱質(zhì)量，降低企業(yè)的生產(chǎn)成本?！?/p>