【摘要】為了解決指形銑刀在加工中心上加工弧齒錐齒輪效率低、表面質(zhì)量的問題，提出了中凹盤銑刀加工弧齒錐齒輪的方法。選擇刀底內(nèi)凹的盤形銑刀，主動改變刀具姿態(tài)角的設(shè)置，先以切觸點位置確定側(cè)傾角避免過切齒槽底面，再以平底刀加工自由曲面的方法分別確定兩側(cè)齒面的前傾角，保證大的切削帶寬，實現(xiàn)了弧齒錐齒輪的高效加工。通過五軸數(shù)控加工實驗，證明了本加工方法可行性和正確性。

　　【關(guān)鍵詞】弧齒錐齒輪，中凹盤銑刀，數(shù)控加工，主動控制刀位，寬行

　　0 引言

　　弧齒錐齒輪因其良好的嚙合傳動性能而廣泛應(yīng)用于機械傳動系統(tǒng)中。隨著礦山、船舶、電力等行業(yè)主機設(shè)備日趨大型化，對大規(guī)格弧齒錐齒輪的需求量越來越大。采用專用盤銑刀加工大規(guī)格弧齒錐齒輪存在加工效率低、制造費用高等問題。隨著自由曲面數(shù)字化加工技術(shù)的發(fā)展，開始了采用球頭刀加工大規(guī)格弧齒錐齒輪的研究[1-4]。然而，由于球頭刀的法矢自適應(yīng)性，無法避免切削帶寬小、加工效率低的難題。平底端銑刀因其切削帶寬大、加工效率高等優(yōu)點而成為近年來自由曲面數(shù)字化加工的研究熱點，并且產(chǎn)生了大量的成果[5-10]。然而，基于平底刀的研究對象一般為平坦、敞口類曲面，而弧齒錐齒輪由于齒面拓撲結(jié)構(gòu)復(fù)雜、以齒底曲面相連的兩側(cè)齒面相向?qū)α?、齒槽空間狹小等原因，因而一直沒有平底刀加工弧齒錐齒輪的文獻報道。本文提出的弧齒錐齒輪端銑加工方法，是在掌握齒輪幾何結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，采用刀底帶內(nèi)凹的端銑刀，通過改變刀具前傾和側(cè)傾的順序，主動控制刀位避免齒底過切，分離刀具前傾角與側(cè)傾角的功能，以側(cè)傾角的合理設(shè)置避免明顯的過切，充分利用前傾角實現(xiàn)較大的切削帶寬，從而實現(xiàn)弧齒錐齒輪的無干涉、高效率加工。

　　1 弧齒錐齒輪齒面幾何

　　1.1齒面網(wǎng)格節(jié)點空間坐標

　　根據(jù)弧齒錐齒輪的加工理論，通過坐標變換和嚙合方程，可以將弧齒錐齒輪的齒面方程表示為r(θ，φ)，其中θ和φ是曲面參數(shù)[11]。然后，將齒面旋轉(zhuǎn)投影到齒輪的軸截面上，并對齒面的旋轉(zhuǎn)投影圖進行網(wǎng)格劃分，齒高方向m行，齒長方向n列，形成m×n個網(wǎng)格節(jié)點。確定齒面旋轉(zhuǎn)投影圖上網(wǎng)格節(jié)點的平面坐標(xpi，ypi) (i=1,2,…, m×n)。再根據(jù)旋轉(zhuǎn)投影原理，建立滿足網(wǎng)格點平面坐標和空間坐標的方程組：

　　式中，x，y和z是齒面網(wǎng)格節(jié)點的徑矢分量。

　　求解此方程組，可以確定網(wǎng)格節(jié)點的曲面參數(shù)值，進而確定齒面網(wǎng)格點的空間坐標。

　　1.2齒面網(wǎng)格點的主曲率和主方向

　　規(guī)定弧齒錐齒輪齒面的法矢由實體指向空間，那么輪齒凸面沿齒長和齒高的彎曲方向都指向法矢負向，凸面的兩個主曲率都小于0，凸面由凸橢圓點構(gòu)成;而凹面，沿齒長向法矢正向彎曲，沿齒高則向法矢負向彎曲，所以凹面點的主曲率必然異號，凹面由雙曲點構(gòu)成。齒面網(wǎng)格點的主曲率和主方向可以利用微分幾何中的曲面理論確定，也可以利用切削過程中產(chǎn)形輪和齒面的線接觸關(guān)系確定^[12]。

　　2 中凹盤銑刀端銑齒面的刀位

　　2.1數(shù)控加工模型

　　在刀具和設(shè)計曲面切觸點處，建立由設(shè)計曲面法向幺矢n(由實體指向外部空間)、進給方向幺矢f以及和n、f都垂直的幺矢t所構(gòu)成的活動標架。在初始刀位處，刀尖與設(shè)計曲面在切觸點c接觸，刀軸幺矢u和法矢n平行，刀尖平面和設(shè)計曲面的切平面重合。讓刀具繞矢量t旋轉(zhuǎn)，刀尖平面和設(shè)計曲面的切平面會形成一個夾角α，這個夾角被定義為刀具的前傾角。然后，讓刀具繞法矢n旋轉(zhuǎn)，形成刀具的側(cè)傾角β，如圖1所示。

　　刀具的前傾和側(cè)傾的坐標轉(zhuǎn)換矩陣如下所示，

　　需要注意的一點，是刀具先前傾后側(cè)傾的順序不能隨意改變，否則會造成刀尖軌跡圓和設(shè)計曲面的干涉。

　　2.2刀具選取

　　與小直徑指狀刀具相比，端銑刀的刀尖半徑大，刀齒多，耐用度好，所以更適合多個齒面的重復(fù)加工。但是，普通的端銑刀，只能讓刀具前傾后，刀尖軌跡圓高于設(shè)計曲面的切平面，刀具包絡(luò)面與設(shè)計曲面的誘導(dǎo)法曲率增大，難以實現(xiàn)寬行、高效加工。王小椿教授曾提出一種新型的端銑刀，中凹盤銑刀，如圖2所示。

　　中凹盤銑刀是平底刀的重要變形，由于刀底的錐形凹陷，從而增加了刀具的前傾角范圍。刀具前傾之后，不僅可以讓刀尖軌跡圓高于加工曲面的切平面，而且可以讓刀尖軌跡圓低于曲面的切平面，從而減小刀具包絡(luò)面與加工曲面的誘導(dǎo)法曲率，并且刀底和已加工曲面無干涉?；谇婕庸だ碚摵妄X面的完整加工，中凹盤銑刀的刀尖半徑范圍如下所示，

　　式中， m為齒輪模數(shù)，f為齒高系數(shù)， c為頂隙系數(shù)， r為刀桿半徑， 為齒面的主曲率。

　　2.3主動控制刀位

　　由于中凹盤銑刀的半徑大于最大齒深，若仍采用讓刀具先前傾后側(cè)傾確定刀位，刀尖在加工齒面的同時會否過切齒槽底面則沒有保證，甚至造成組成齒槽的兩側(cè)齒面完全分離，故提出了讓大直徑盤銑刀先側(cè)傾后前傾的刀位主動控制方法，保證刀尖在端銑齒面的同時不會切入齒槽底面。由于刀具姿態(tài)角設(shè)置順序的改變，造成前傾轉(zhuǎn)動軸線方向的變化。刀具前傾軸線方向的推導(dǎo)如下所示。

　　(1)刀具先前傾后側(cè)傾的坐標轉(zhuǎn)換矩陣如式(2)和(3)所示，兩次旋轉(zhuǎn)之后的轉(zhuǎn)換矩陣乘積為，

　　(2) 由于刀具側(cè)傾的轉(zhuǎn)動軸線不變，所以側(cè)傾轉(zhuǎn)換矩陣亦不變，如式(3)所示。

　　(3) 指定刀具在側(cè)傾之后，前傾的轉(zhuǎn)動軸線與標架中的矢量t夾角為θ，如圖3所示。

　　根據(jù)圖3中的幾何關(guān)系，前傾軸線的幺矢為，

　　根據(jù)Euller-Rodirgue公式，可以得到刀具側(cè)傾的旋轉(zhuǎn)矩陣，

　　式中，

　　刀具先側(cè)傾后前傾之后，轉(zhuǎn)換矩陣的乘積為，

　　式中，

　　比較L₂₃和L₁₂，可以得出結(jié)論：

　　換言之，刀具齒面切觸點法矢n旋轉(zhuǎn)，形成側(cè)傾角β，然后再繞與t矢量成β角的軸線旋轉(zhuǎn)形成前傾角α，可以保證刀尖軌跡圓和被加工齒面只在切觸點接觸，沒有干涉。

　　2.4 刀具側(cè)傾角

　　為了保證加工齒面的刀尖不會過切齒底，應(yīng)以切觸點與齒槽底面的距離來計算刀具的側(cè)傾角。

　　由幺矢t和切觸點矢量r_M所決定直線方程為，

　　式中，u為曲線參數(shù)。

　　齒槽底面是齒根圓錐面的一部分，其方程為，

　　式中，(x，y，z)是圓錐面上一點的坐標，是齒輪的根錐角。

　　聯(lián)立方程(10)和(11)，可以確定切觸點沿t負向與齒槽底面的交點，進而確定此交點和切觸點的距離l。

　　由圖3，可以確定刀具側(cè)傾后，刀尖軌跡圓越過切觸點深入齒槽的劣弧弓高為，

　　則側(cè)傾角的計算公式為，

　　2.5 刀具前傾角

　　對于由凸橢圓點構(gòu)成的輪齒凸面，通過讓刀具包絡(luò)面和齒面在垂直于切削進給方向的法曲率相等來確定前傾角，可以保證較大的切削帶寬。

　　幺矢t和第一主方向e₁的夾角δ為，

　　然后，利用Euller方程確定齒面的法曲率kt，

　　刀具包絡(luò)面的法曲率確定方法如下所示：

　　(1)在初始刀位處，刀尖軌跡圓在ftn標架中的表達式，

　　其中，ψ是刀尖軌跡圓的曲線參數(shù)。

　　(2)刀具經(jīng)側(cè)傾和前傾后，刀尖軌跡圓在標架中的表達式，

　　(3)經(jīng)側(cè)傾和前傾后，刀尖軌跡圓在矢量t和n所構(gòu)成平面中投影線在切觸點的曲率kp為，

　　聯(lián)立(15)和(18)式，可以確定加工凸面時中凹盤銑刀的前傾角α。

　　由于輪齒凹面和凸面曲面結(jié)構(gòu)的不同，凹面加工時，在側(cè)傾角確定后，參考Struz法來確定刀具的前傾角，

　　其中，ε為一定值;對于雙曲點，ke和二主曲率中取正的一致。

　　在刀具的前傾角和側(cè)傾角確定之后，刀位的表達式如下所示：

　　其中，u表示刀軸的幺矢，而p表示刀尖軌跡圓的刀心矢量，r_M是切觸點矢量。

　　3 實驗加工

　　為了驗證所提出加工方法的可行性，以一對弧齒錐齒輪副的大輪為例，利用式(20)和(21)中刀位，后置處理編寫數(shù)控程序，在DMU100型五軸立式加工中心上進行了實驗加工，輪齒凸面7次切削完成加工，凹面6次完成加工。

　　弧齒錐齒輪大輪的基本幾何參數(shù)和加工參數(shù)如表1所示：

　　中凹盤銑刀加工算例弧齒錐齒輪大輪的瞬間如圖4所示。加工完成的弧齒錐齒輪大輪如圖5所示，齒面光滑連續(xù)，光潔度好。

　　4 結(jié)論

　　本文提出的中凹盤銑刀端銑數(shù)控加工弧齒錐齒輪的方法，將平底刀高效率端銑曲面的成果應(yīng)用于加工弧齒錐齒輪，先設(shè)置刀具側(cè)傾角以避開干涉，再設(shè)置刀具前傾角保證大的切削帶寬，并通過數(shù)控加工實驗，說明了該方法的可行性。這種加工方法具有刀具耐用度高、采用通用5軸數(shù)控機床、切削帶寬大，加工效率高等優(yōu)點，而且通過合理的刀具結(jié)構(gòu)設(shè)計和刀位確定方法，可以避開刀具和齒槽的干涉，尤其對大規(guī)格弧齒錐齒輪的加工具有重要意義。

　　參考文獻：

　　[1] S H Suh, J Lee. Multi-axis machining with additional-axis NC system [J], International Journal of Advanced Manufacturing Technology，1998, 14: 865–875.

　　[2] Suh S H, Jih W S, Hong H D, et al. Sculptured surface machining of spiral bevel gears with CNC milling[J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2001, 41: 833–850.

　　[3] 凌文峰. 螺旋傘齒輪新加工方法及關(guān)鍵技術(shù)的研究[D]. 北京：北京交通大學，2008.

　　Ling Wenfeng. The study of spiral bevel gears new machining methods and crucial technology [D]. Beijing: Beijing Jiaotong University, 2008.

　　[4] Kawasaki K, Tsuji I, Abe Y, et al. Manufacturing method of large-sized spiral bevel gears in cyclo-palloid system using multi-axis control and multi-tasking machine tool[J]. The JAPAN Society of Mechanical Engineers Series C. 2011, 77: 728-736.

　　[5] R.Schmid. An integrated turbine blade manufacturing system. Auto fact 6, 1984.

　　[6] Vichers G W, Quan K W. Ball-mills versus end-mills for curved surface machining[J]. Journal of Engineering for Industry, 1989, 111:22-26.

　　[7] 王小椿，吳序堂，李艷斌. 密切曲率法——一種加工自由曲面的新概念[J]. 西安交通大學學報，1992，26：51-110.

　　Wang Xiaochun, Wu Xutang, Li Yanbin. Curvature catering – a new concept for machining sculptured surfaces[J]. Xi’an Jiaotong University Xuebao, 1992, 26: 51-110.

　　[8] B K Choi, J W Park, C S Jun. Cutter-location data optimization in 5-axis surface machining[J]. CAD, 1993, 25(6): 377-386.

　　[9] Andrew Warkentin, Fathy Ismail, Sanjeev Bedi. Intersection approach to multi-point machining of sculptured surfaces[J]. Computer Aided Geometric Design, 1998, 15: 567-584.

　　[10] 樊文剛, 王小椿, 姜虹, 蔡永林. 一種開闊自由凹曲面五坐標加工多點刀位算法[J]. 西安交通大學學報，2010, 44(9): 69-73.

　　Fan Wengang, Wang Xiaochun, Jiang Hong, Cai Yonglin. Multi—point tool positioning strategy for five-axis machining of open sculptured concave surfaces[J]. Xi’an Jiaotong University Xuebao, 2010, 44(9): 69-73.

　　[11] 李天興，鄧效忠，李聚波，等. 螺旋錐齒輪齒面誤差分析與自動反饋修正[J]. 航空動力學報，2011，26(5): 1194-1200.

　　Li Tianxing, Deng Xiaozhong, Li Jubo, et al. Automatic feedback correction and deviation analysis for tooth surface of spiral bevel gear and hypoid gear[J].Journal of Aerospace Power, 2011, 26(5): 1194-1200.

　　[12] F.L. Litvin, N.X. Chen, J.-S. Chen. Computerized determination of curvature relations and contact ellipse for conjugate surfaces[J]. Computer methods in applied mechanics and engineering, 125, 151-170, 1995.