摘要：針對目前部分使用SolidWorks實現(xiàn)圓柱直齒輪造型所存在的問題，運用方程式驅動的曲線和方程式，實現(xiàn)圓柱直齒輪的精確建模。通過參數(shù)化的方式，在方程式中關聯(lián)全局變量。通過修改齒輪的相關標準參數(shù)并使用if函數(shù)，對模型進行特征壓縮。用一個模型文件完成任意齒數(shù)的齒輪快速建模，極大地提高了建模的準確性與效率。

　　在常見的機械傳動機構中，齒輪傳動是應用最廣泛的傳動機構之一。其中，圓柱直齒輪因其使用圓周速度和功率范圍廣、壽命較長、傳動比精確穩(wěn)定、效率高等優(yōu)點在現(xiàn)代各種機械設備中得到了廣泛的應用。

　　在實際使用時要求齒輪機構有較高的加工精度和裝配精度，在有限元分析、運動仿真等對結構和模型精度要求較高的使用場景下，也需要建立的齒輪模型具有較高的精度，因此，精準地建立漸開線圓柱直齒輪模型至關重要。此外，在模型設計時盡量減少使用軟件的種類，能提高工程師的工作效率。

　　現(xiàn)階段有諸多學者提出使用SolidWorks建立圓柱直尺輪模型的方法，但也存在一些缺點，例如文獻介紹了SolidWorks中自帶的Toolbox插件、用圓弧或樣條曲線代替漸開線的方法，用這兩種方法繪制出的齒廓并非標準的漸開線，繪制的齒輪精度較低，不利于后期對齒輪進行力學和仿真分析;文獻還通過方程式驅動的方式繪制漸開線，能生成精度較高的齒輪模型，但所生成的齒輪模型沒有關于x 軸或y軸對稱，造成裝配時的定位不便。文獻介紹了使用邁迪、GearTrax插件、CAXA電子圖板繪制齒輪的方法，這些方法借助了外部的插件或軟件，雖然能夠保證建立的齒輪的齒廓為標準的漸開線齒廓，但當設計過程中齒輪尺寸發(fā)生變化時則需要使用插件重新繪制齒輪，無法直接通過SolidWorks修改齒輪參數(shù)直接重建模型，造成設計時的不便。因此，需要對齒輪建模方法進行優(yōu)化。

　　本文針對以上問題，分析漸開線方程和坐標變換，利用SolidWorks中的方程式驅動的曲線和方程式功能，根據(jù)齒輪形成的原理，對漸開線圓柱直齒輪的建模方法進行了優(yōu)化。

　　一、漸開線方程

　　基本漸開線方程

　　正確地繪制出漸開線是圓柱齒輪精確建模的基礎和關鍵，為了保證齒廓的精確性，本文采用漸開線的參數(shù)方程來精確繪制齒輪的漸開線齒廓。

　　一動直線在一個固定的圓周上做純滾動時，該直線上的任意一點所形成的軌跡被稱為漸開線，其軌跡如圖1所示，根據(jù)漸開線的形成原理可寫出其參數(shù)方程：

　　式中：D_b為基圓直徑，θ為展角。

　　漸開線方程的優(yōu)化

　　由式(1)所生成的直齒輪的部分齒廓如圖2 所示，不難發(fā)現(xiàn)，按照式(1)生成的齒輪并不關于x軸對稱，此時，齒輪的對稱線與x軸線存在偏角，該偏角會在齒輪裝配時造成不便。因此，需要對漸開線參數(shù)方程進行優(yōu)化，為了使齒輪能夠關于基準面對稱，需要使?jié)u開線繞坐標原點旋轉β角，從而使齒輪的模型能夠關于x軸對稱。其中，β為齒輪齒廓的對稱線與x軸的夾角。

　　在笛卡爾直角坐標系上的曲線繞原點旋轉主要有兩種方式：一種方式是曲線繞原點旋轉，坐標系保持不動;另一種方式是坐標系繞原點旋轉，通過旋轉坐標軸，使曲線相對坐標軸的位置發(fā)生旋轉。在SolidWorks中，方程式驅動的曲線是在全局默認的坐標系中生成的，其默認的坐標系無法更改，所以無法通過旋轉坐標系來完成旋轉曲線。因此，本文采用坐標旋轉實現(xiàn)漸開線繞坐標原點旋轉β，原理如下。

　　如圖3所示，坐標(x，y)繞坐標原點O逆時針旋轉α后得到新坐標(x′，y′),存在如下關系：

　　合并兩式化簡得：

　　如圖4所示，計算旋轉角度β。

　　由漸開線的性質得

　　其中，α為壓力角。

　　在直角ΔAOK中有

　　合并上述兩式得

　　γ為兩相鄰的齒夾角的一半

　　因此可求得旋轉角

　　在SolidWorks中，三角函數(shù)內(nèi)的輸入的數(shù)值需要用弧度表示：

　　最終優(yōu)化后的漸開線的極坐標參數(shù)方程可表示為：

　　二、圓柱直齒輪參數(shù)化建模

　　基本參數(shù)

　　圓柱直齒輪的標準參數(shù)如下：模數(shù)m;壓力角α;齒數(shù) Z;頂隙系數(shù)c* ;齒高系數(shù)h^*a。

　　圓柱直齒輪的基本尺寸計算：分度圓直徑d=mz;基圓直徑 d_b=dcos α;齒頂圓直徑d_a=d+2h_a=d+2h^*_am;齒根圓直徑d_f =d-2h_f =d-2m(h^*_a+c^*)。

　　創(chuàng)建全局變量

　　在SolidWorks工作界面的左側設計樹區(qū)域右鍵 “方程式”，選擇“管理方程式”選項，打開方程式界面，在全局變量區(qū)域輸入模數(shù)m、齒數(shù)z、壓力角α、分度圓直徑D、基圓直徑Db、頂隙系數(shù)c* 、齒頂高系數(shù) h_a^* 、齒根圓直徑D_f、齒根圓直徑D_a、齒寬B。并輸入相應的數(shù)值與計算公式，如圖5所示。

　　本部分以m=2、z =50和30、α=20°、h*a =1.0、c* = 0.25、B=20的標準齒輪為例。

　　繪制圓和漸開線草圖

　　繪制齒頂圓、分度圓、齒根圓、基圓草圖。在草圖繪制界面以原點為圓心由大到小分別繪制齒頂圓、分度圓、齒根圓、基圓4個圓的草圖，并運用“智能尺寸”標注尺寸，在尺寸輸入界面輸入“=”，在彈出的選項中選擇“全局變量”，根據(jù)4個圓由大到小分別選擇 “Da”“D”“Df”“Db”，完成對齒頂圓、分度圓、齒根圓、基圓的尺寸與方程式全局變量的關聯(lián)。

　　構造漸開線。在“方程式”-“全局變量”中添加新變量“β”，為旋轉角，其值為“=("α"+90/"z"-tan("α")*180/PI)*PI/180”。在草圖繪制菜單中選擇“方程式驅動的曲線”，選擇“參數(shù)性”輸入?yún)?shù)方程。在方程式“x_t ”處輸入("Db"*(t*sin(t)+cos(t))/2)*cos("β")-("Db"*(sin(t)-t*cos(t))/2)*sin("β");在“y_t”處輸入("Db"*(t*sin(t)+cos(t))/2)*sin("β")+("Db"*(sin(t)-t*cos(t))/2)*cos("β")。在參數(shù)“t₁”處輸入0，“t₂”處輸入“pi”，該參數(shù)的作用為控制漸開線的展角范圍。至此，完成漸開線的創(chuàng)建。

　　最后，為生成的漸開線添加固定約束，使其為完全定義。

　　創(chuàng)建齒輪實體模型

　　生成齒坯模型。使用“特征”-“拉伸凸臺”命令，以齒頂圓為輪廓拉伸輪廓，在拉伸長度中選擇全局變量“B”。實現(xiàn)齒輪厚度的參數(shù)化關聯(lián)。

　　切除單個齒槽。以齒坯的一面為草圖基準面繪制草圖，選中齒根圓、齒頂圓和漸開線草圖，執(zhí)行“轉換為實體引用”命令，用直線將齒根圓和齒頂圓與X 軸線的交點相連接。裁剪齒根圓和齒頂圓，形成封閉的一半的齒槽輪廓。選中該輪廓，使用“特征”-“拉伸切除”命令，切除尺寸選擇全局變量“B”。最后，使用 “特征”-“鏡像”命令，鏡像基準面選擇“上視基準面”，鏡像切除的特征，完成單個齒槽的切除。然后使用“特征”-“圓角”，選中齒根部分，圓角半徑的參數(shù)值為=“m”*0.38，完成單個齒廓的創(chuàng)建。

　　陣列完成齒廓的建模。使用“圓周陣列”，陣列切除成形的齒廓，陣列數(shù)量選擇全局變量“Z”，完成齒數(shù)的方程式關聯(lián)。

　　采用上述步驟完成齒數(shù)大于41齒時的圓柱直齒輪的造型，通過修改全局變量中的模數(shù)和齒數(shù)等參數(shù)，即可生成不同的齒輪，無需重新建立新的模型文件。

　　三、參數(shù)壓縮實現(xiàn)建模

　　當基圓大于齒根圓時，即Df≤Db時，代入數(shù)值計算得齒數(shù)Z≤41.25，即當齒數(shù)≤41齒時，漸開線的起點位于齒根圓以外，如果按照上述方法直接修改參數(shù)，會導致模型重建失敗。若重建一個模型文件，則無法實現(xiàn)對任意齒數(shù)齒輪的建模。此時，則需要使用條件控制特征的壓縮，達到用一個模型完成任意齒數(shù)的圓柱直齒輪建模的目的。

　　IF函數(shù)控制壓縮

　　在SolidWorks中，可以運用Visual Basic If函數(shù)有條件地控制模型變量，基本用法如下：

　　變量=IF(表達式,滿足條件返回的結果,不滿足條件返回的結果)。

　　例如，Y=IF(X>10,1,2)表示為當X>10時,Y=1;當 X≤10時，Y=2。

　　在“方程式”-“特征”區(qū)域，可以選擇對應的特征。在“數(shù)值/方程式”處輸入="suppressed"，則表示該特征被壓縮;在“數(shù)值/方程式”處輸入="unsuppressed"，則表示該特性被取消壓縮。運用該功能，可以很好地解決齒數(shù)小于42時重建模型發(fā)生錯誤的問題。

　　基于上述結論，可寫出以下表達式：

　　該式表示齒數(shù)大于41時指定特征被壓縮;反之，則指定特征被解除壓縮。

　　創(chuàng)建最終齒輪模型

　　壓縮原模型。打開“方程式”，在“特征”-“名稱” 中3行分別選擇設計樹中“切除”“鏡像”“陣列”“圓”3個特征，在“數(shù)值/方程式”輸入=IF("Z"<= 41，"suppressed"，"unsuppressed")，并將全局變量中齒數(shù)“Z”修改為30，完成原模型的壓縮。

　　按照本文2.4節(jié)中的操作方法，將漸開線、齒頂圓和齒根圓引用后裁剪，得到未封閉的圖形，繪制一條直線連接漸開線起點和齒根圓，然后添加幾何約束令直線與漸開線相切，得到封閉圖形。再通過切除、鏡像、圓角、陣列一系列操作，完成齒數(shù)小于41齒的齒輪建模。

　　將新生成的4個特征添加到“方程式”-“特征” 中，數(shù)值處填入“=IF("Z" >41，"suppressed"，"unsuppressed")”，可以實現(xiàn)在齒數(shù)大于41時壓縮，齒數(shù)不大于41時解除壓縮。至此，優(yōu)化后的圓柱直齒輪造型完成，通過修改全局變量中齒輪的參數(shù)，便可以直接完成特征的重建。

　　四、結論

　　可以將該模型文件保存為樣板文件，當在設計時需要使用到圓柱直齒輪時，只需調用該模型文件，修改全局變量中的模數(shù)、齒數(shù)等標準參數(shù)后，可以直接生成所需要的齒輪模型。該模型運用了漸開線的參數(shù)方程，保證了齒輪的精度;且生成的齒輪關于上視基準面對稱，便于后續(xù)進行裝配和有限元分析;還實現(xiàn)了用一個模型滿足所有齒數(shù)的齒輪生成，避免修改齒數(shù)時報錯，在一定程度上減少了重復操作，提高了效率，同時也為變位齒輪等具有多參數(shù)的零部件的參數(shù)化建模提供了一定的思路。

　　參考文獻略.