摘要 基于空間展成法加工原理，推導(dǎo)了等變位斜齒錐齒輪的齒面數(shù)學(xué)模型和齒面接觸線方程，建立了7 齒對(duì)齒面接觸的有限元?jiǎng)討B(tài)分析模型，獲得了嚙合周期內(nèi)邊緣接觸的位置、不同負(fù)載下齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力的變化曲線，分析了斜齒錐齒輪穩(wěn)定嚙合時(shí)法向接觸力的變化規(guī)律和輪對(duì)重合度。結(jié)果表明，斜齒錐齒輪齒對(duì)在進(jìn)入和退出嚙合時(shí)均發(fā)生了邊緣接觸，整個(gè)嚙合過程的接觸力曲線較為平滑，在3 齒嚙合區(qū)附近呈近對(duì)稱分布且具有較高的重合度，最大彎曲應(yīng)力出現(xiàn)在大輪大端和小輪小端的齒根過渡圓角附近。

　　關(guān)鍵詞 斜齒錐齒輪 等變位 邊緣接觸 接觸力 有限元分析

　　0 引言

　　斜齒錐齒輪相較直齒錐齒輪具有高重合度系數(shù)、高承載能力、傳動(dòng)平穩(wěn)等特點(diǎn)，是高速重載傳動(dòng)系統(tǒng)中十分重要的零部件[1]652。學(xué)者們已利用球面漸開線齒廓生成原理及共軛嚙合原理實(shí)現(xiàn)了斜齒錐齒輪的參數(shù)化設(shè)計(jì)和虛擬加工[1]653-655[2]246-249[3]，由于斜齒錐齒輪齒面的獨(dú)特性和復(fù)雜性，需要對(duì)其在實(shí)際工程中的嚙合特性進(jìn)行深入研究，特別是對(duì)于實(shí)際加載嚙合中的受力和邊緣接觸情況，應(yīng)結(jié)合其齒面數(shù)學(xué)模型進(jìn)行有限元分析，為斜齒錐齒輪傳動(dòng)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供依據(jù)。

　　學(xué)者們對(duì)錐齒輪嚙合特性開展了大量研究分析。王中榮等[4-5]利用有限元法研究了直齒錐齒輪輪齒的接觸應(yīng)力分布、變形規(guī)律和齒根彎曲應(yīng)力。Litvin等[6]利用有限元法研究了弧齒錐齒輪加載嚙合時(shí)的最大接觸應(yīng)力和最大齒根彎曲應(yīng)力，并且找到其邊緣接觸區(qū)域。鄧擁軍等[7]運(yùn)用有限元法研究了弧齒錐齒輪在不同載荷和安裝誤差下的接觸斑點(diǎn)及接觸軌跡的變化規(guī)律。侯祥穎等[8]69-73利用有限元軟件進(jìn)行了考慮邊緣接觸的弧齒錐齒輪加載接觸分析，定量分析了邊緣接觸軌跡隨載荷增加的變化規(guī)律。但是，國(guó)內(nèi)外缺少等變位斜齒錐齒輪加載接觸分析方面的研究文獻(xiàn)，斜齒錐齒輪嚙合過程中接觸力的分析比較少見。

　　本文中基于空間展成法加工原理，建立了等變位斜齒錐齒輪副的齒面方程及其有限元模型，分析了變載荷條件下斜齒錐齒輪齒對(duì)嚙合周期內(nèi)的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力以及齒輪接觸力的變化規(guī)律和輪對(duì)重合度。

　　1 數(shù)學(xué)模型

　　本文中在已有研究的基礎(chǔ)上，通過空間展成法推導(dǎo)出等變位斜齒錐齒輪的齒面方程[2]246-248。如圖1所示，產(chǎn)形輪與被加工齒輪以傳動(dòng)比i嚙合傳動(dòng)，產(chǎn)形輪齒面包絡(luò)生成被加工齒輪齒面，與產(chǎn)形輪固聯(lián)的坐標(biāo)系為S₁，與被加工齒輪固聯(lián)的坐標(biāo)系為S_P，Σ 為兩齒輪中心軸線Z1和ZP 的夾角。

　　大輪產(chǎn)形輪的齒形方案如圖2 所示。O1'ab、O1'cd 均為切向變位前的齒面;O1'a'b'、O1'c'd' 均為切向變位后的齒面;齒面傾斜角為壓力角α ;點(diǎn)P 為齒面上節(jié)線O1'N、O1'M 端點(diǎn)間圓弧中點(diǎn);O1'P 為輪齒中心線;平面O1'JP 垂直于節(jié)平面且與圖中半徑為r 的圓相切于點(diǎn)O1' ;β 為齒傾斜角;節(jié)平面上的齒厚弧長(zhǎng)PN=PM=S ∕ 2=πm ∕ 4;O1'N'、O1'M' 均為變位節(jié)線;切向變位弧長(zhǎng)NN'=MM'=xt ·m ;S 為節(jié)圓齒厚;m 為齒輪模數(shù);xt 為切向變位系數(shù)。大輪產(chǎn)形輪采用切向正變位對(duì)應(yīng)齒面方程中的xt 為正值，而小輪產(chǎn)形輪采用切向負(fù)變位對(duì)應(yīng)齒面方程中的xt 為負(fù)值，且兩者互為相反數(shù);大輪與小輪輪齒中心線O1'P 關(guān)于O1Y1 軸對(duì)稱，其他參數(shù)相同。

　　在固聯(lián)坐標(biāo)系S₁ 中，產(chǎn)形輪齒面的參數(shù)方程和法矢量方程為

　　式中，u₁ 、θ₁ 均為產(chǎn)形輪齒面的參數(shù);M 為齊次坐標(biāo)變換矩陣;矩陣L 由M 去掉第4行和第4列得到。

　　對(duì)于大輪產(chǎn)形輪，式(1)中矩陣M 表達(dá)式為

　　式中，矩陣各分量分別為

　　式中，ξ 為圖2(b)中節(jié)平面上輪齒中心線O1'P 與變位節(jié)線O1'N' 的夾角，表達(dá)式為

　　式中，矩陣各分量分別為

　　上述式中，z 為產(chǎn)形輪齒數(shù);x_t 為切向變位系數(shù)。

　　被加工齒輪齒面與產(chǎn)形輪齒面互為共軛齒面，則在與被加工齒輪固聯(lián)的坐標(biāo)系SP 中，被加工齒輪的齒面方程和法矢量方程分別為

　　式中，M_P1 為坐標(biāo)系S₁ 到坐標(biāo)系S_P 的變換矩陣;矩陣M_P1中的Σ 為兩齒輪的軸交角;φ₁、φ₂ 分別為產(chǎn)形輪齒面和被加工齒輪齒面到達(dá)嚙合位置所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度;矩陣L_P1 由M_P1 去掉第4 行和第4 列得到。M_P1 的表達(dá)式為

　　式中，矩陣各分量為

　　根據(jù)齒輪接觸條件[9]，得大輪和小輪嚙合時(shí)的齒面接觸方程為

　　式中，r₁ 、r₂ 分別為小輪和大輪在同一坐標(biāo)系中的齒面方程;n₁ 、n₂ 分別為小輪和大輪在同一坐標(biāo)系中的齒面法矢量方程。

　　根據(jù)上述被加工齒輪齒面的數(shù)學(xué)模型，考慮表1中所示斜齒錐齒輪副的基本參數(shù)，根據(jù)式(1)～式(4)求解齒面離散點(diǎn)坐標(biāo)，使用NX 軟件對(duì)被加工齒輪齒面進(jìn)行重構(gòu)，建立等變位展成斜齒錐齒輪副三維實(shí)體模型，如圖3所示。

　　2 有限元模型

　　將斜齒錐齒輪的三維幾何模型導(dǎo)入Hypermesh中進(jìn)行結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。將齒輪切割得到單個(gè)輪齒，再對(duì)單個(gè)輪齒剖分為6 部分，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。根據(jù)齒面接觸斑點(diǎn)連續(xù)的網(wǎng)格尺寸條件[10]，分別在工作齒面齒高方向劃分40 層單元，在齒根過渡部分劃分10 層單元，在齒寬方向劃分140 層單元。綜合考慮模型計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間，分別對(duì)大輪與齒輪中心軸線上的參考點(diǎn)建立受力耦合約束，對(duì)小輪與齒輪中心軸線上的參考點(diǎn)建立運(yùn)動(dòng)耦合約束，劃分的單齒嚙合有限元網(wǎng)格模型如圖4所示。

　　為保證齒面接觸分析的穩(wěn)定性和收斂性，在Abaqus 動(dòng)態(tài)分析環(huán)境將分析過程分為3 步：①小輪繞齒輪軸線施加微小轉(zhuǎn)動(dòng)量，使小輪與大輪齒面接觸;②利用幅值曲線中的平滑分析步，使繞大輪軸線的負(fù)載轉(zhuǎn)矩緩慢增大到給定值;③給小輪施加繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度，使小輪驅(qū)動(dòng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)。

　　齒面接觸分析時(shí)，在齒面接觸斑點(diǎn)連續(xù)的同時(shí)，也需要考慮接觸單元的數(shù)量對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響。本文中選取斜齒錐齒輪單齒嚙合有限元模型驗(yàn)證所劃分單元的有效性。小輪完整嚙合周期的瞬時(shí)接觸線如圖5 所示，根據(jù)齒面接觸方程式(6)可以得到斜齒錐齒輪副瞬時(shí)接觸線為空間直線[11]。小輪完整的嚙合周期為由齒根位置P 點(diǎn)進(jìn)入嚙合到齒頂位置N點(diǎn)退出嚙合，其中，進(jìn)入嚙合區(qū)由P 點(diǎn)到接觸線1和退出嚙合區(qū)由接觸線2 到N 點(diǎn)間的嚙合位置由于邊緣接觸而出現(xiàn)應(yīng)力集中，故本文中選取接觸線1到接觸線2 間的5 個(gè)嚙合位置進(jìn)行加載接觸分析，獲得其最大接觸應(yīng)力，并將其與基于赫茲接觸理論的解析式(7)[12-13] 進(jìn)行對(duì)比(表2)[14]，驗(yàn)證了有限元模型的準(zhǔn)確性。

　　表2 單齒對(duì)模型接觸應(yīng)力計(jì)算結(jié)果比較

　　式中，P₀ 為最大接觸應(yīng)力;P 為齒面所受法向載荷;E 為彈性模量;R 為綜合曲率半徑;L 為接觸線長(zhǎng)度?？紤]到輪齒動(dòng)態(tài)接觸分析存在3對(duì)齒同時(shí)嚙合的情況，故本文中選取斜齒錐齒輪7齒對(duì)有限元模型進(jìn)行加載嚙合接觸分析，裝配模型如圖6所示。齒輪材料選用45 鋼，彈性模量為206 GP，泊松比為0.3，大輪施加的負(fù)載轉(zhuǎn)矩分別為200 N·m和500 N·m。

　　3 嚙合特性分析

　　3.1 齒面接觸應(yīng)力與齒根彎曲應(yīng)力

　　通過7齒對(duì)的有限元分析，獲得的整個(gè)模型的接觸應(yīng)力及最大彎曲應(yīng)力云圖如圖7 所示。圖7(a)所示為某瞬時(shí)3齒接觸應(yīng)力云圖，可以看出，中間齒接觸線較長(zhǎng)且無(wú)邊緣接觸，另外兩齒則由于邊緣接觸而出現(xiàn)應(yīng)力集中。通常，Mise 應(yīng)力可作為通用的應(yīng)力計(jì)算準(zhǔn)則，但斜齒錐齒輪嚙合時(shí)，小輪齒面接觸區(qū)域距離齒根過渡曲面較近，因而，Mise 接觸應(yīng)力會(huì)影響齒根處的應(yīng)力分布[15]，故選用最大主應(yīng)力來(lái)表征齒根過渡曲面的彎曲強(qiáng)度。圖7(b)和圖7(c)所示分別為負(fù)載500 N·m 時(shí)大輪和小輪的最大主應(yīng)力云圖，由圖中可知，大輪的最大彎曲應(yīng)力出現(xiàn)在靠近輪齒大端齒根過渡曲面附近，小輪的最大彎曲應(yīng)力出現(xiàn)在靠近輪齒小端齒根過渡曲面附近。

　　為了直觀反映斜齒錐齒輪的嚙合特性，提取各嚙合位置的最大齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力，其與小輪轉(zhuǎn)角相關(guān)的應(yīng)力變化曲線分別如圖8和圖9 所示。圖8 中的接觸應(yīng)力曲線中，邊緣接觸區(qū)間較大，而正常嚙合區(qū)間較小，這是因?yàn)樾饼X錐齒輪副進(jìn)入和退出嚙合是一個(gè)緩慢過渡的過程。從大輪接觸應(yīng)力云圖7(a)中可見，齒對(duì)在進(jìn)入嚙合區(qū)間，大輪齒頂與小輪齒根邊緣接觸，使得小輪齒根過渡曲面附近的接觸應(yīng)力較大;在正常嚙合區(qū)間，在圖5中接觸線2 位置附近達(dá)到接觸應(yīng)力最大值;在退出嚙合區(qū)間，小輪齒頂與大輪齒根邊緣接觸，使得小輪齒頂處接觸應(yīng)力較大。由圖8中還可以看出，兩種負(fù)載下的接觸應(yīng)力曲線變化趨勢(shì)和邊緣接觸區(qū)基本相同，這是因?yàn)樨?fù)載大小并未改變齒輪副接觸線的分布和接觸線的長(zhǎng)度，這與點(diǎn)接觸的弧齒錐齒輪副有所不同[8]71-72。

　　圖9 所示彎曲應(yīng)力變化曲線中，在進(jìn)入嚙合區(qū)間，大輪小端接觸線距離齒根的高度遠(yuǎn)大于小輪，所以，大輪彎曲應(yīng)力大于小輪;同理，在退出嚙合區(qū)間，小輪大端接觸線距離齒根的高度遠(yuǎn)大于大輪，所以，小輪彎曲應(yīng)力高于大輪。由圖9 中還可以看出，當(dāng)大輪小端齒頂進(jìn)入嚙合時(shí)，出現(xiàn)了一個(gè)彎曲應(yīng)力極值點(diǎn)，另一個(gè)彎曲應(yīng)力極值點(diǎn)出現(xiàn)在雙齒嚙合最高點(diǎn)位置，即圖7(b)中的A 點(diǎn)處;而小輪是小端齒根進(jìn)入嚙合，其唯一的彎曲應(yīng)力極值點(diǎn)出現(xiàn)在雙齒嚙合最高位置，即圖7(c)中的B 點(diǎn)處。圖10 所示為彎曲應(yīng)力云圖中點(diǎn)A 和點(diǎn)B 的時(shí)間歷程曲線，可以看出，點(diǎn)A 和點(diǎn)B 在嚙合周期內(nèi)只存在1 個(gè)峰值，且?guī)缀醭霈F(xiàn)在同一嚙合位置。

　　3.2 齒面法向接觸力

　　斜齒錐齒輪齒廓曲面的名義法向接觸力Fn可在大輪齒寬中點(diǎn)的分度圓處分解為切向力Ft 、徑向力Fr 和軸向力Fa 共3個(gè)分量，根據(jù)直齒錐齒輪法向接觸力的解析式，斜齒錐齒輪法向接觸力的表達(dá)式為

　　式中，T 為施加的負(fù)載轉(zhuǎn)矩;d_m 為大輪齒寬中點(diǎn)分度圓直徑;α_n 為法向壓力角;δ 為大輪節(jié)錐角;β 為齒寬中點(diǎn)的螺旋角。

　　通過設(shè)置大輪負(fù)載轉(zhuǎn)矩得到的整個(gè)模型法向接觸力變化曲線如圖11所示。由圖11可知，接觸力的變化過程包括：建立接觸階段、緩慢加載階段和穩(wěn)定嚙合階段，分別對(duì)應(yīng)有限元模型前處理中的3個(gè)分析步。根據(jù)式(8)計(jì)算可得，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為200 N·m和500 N·m 時(shí)，接觸力計(jì)算值分別為3 609.2 N 和9 023.1 N。在穩(wěn)定嚙合階段，由于輪齒不斷進(jìn)入和退出嚙合，接觸力呈現(xiàn)小范圍的上下波動(dòng)，其中，負(fù)載轉(zhuǎn)矩越大，對(duì)應(yīng)接觸力波動(dòng)值就越大，最大波動(dòng)值分別為149.6 N和-247.3 N。

　　3.3 輪對(duì)重合度

　　根據(jù)文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[17]中的齒輪重合度計(jì)算方法，通過測(cè)量單齒對(duì)參與嚙合的時(shí)間ΔT 和相鄰兩齒對(duì)進(jìn)入嚙合的時(shí)間差Δt，則重合度為

　　將接觸齒對(duì)接觸力的時(shí)間歷程輸出，進(jìn)一步得到中間相鄰3 對(duì)輪齒接觸力時(shí)間歷程曲線如圖12 所示，由式(9)計(jì)算可得，當(dāng)負(fù)載分別為200 N·m 和500 N·m 時(shí)的輪對(duì)重合度分別為2.313 和2.375。從圖12 中可知，斜齒錐齒輪接觸力曲線較為平滑，在3 齒嚙合區(qū)附近呈近對(duì)稱分布，且具有較高的重合度，滿足齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性的必要條件。

　　4 結(jié)論

　　推導(dǎo)了等變位斜齒錐齒輪齒面數(shù)學(xué)模型及齒輪副接觸線方程，建立了斜齒錐齒輪有限元?jiǎng)討B(tài)接觸分析模型，研究了斜齒錐齒輪的嚙合特性。主要結(jié)論如下：

　　(1)齒對(duì)進(jìn)入嚙合時(shí)，大輪齒頂發(fā)生邊緣接觸，使得小輪齒根過渡曲面附近接觸應(yīng)力值較大;齒對(duì)退出嚙合時(shí)，小輪齒頂發(fā)生邊緣接觸，使得小輪齒頂處應(yīng)力值較大;整體來(lái)看，小輪在進(jìn)入嚙合時(shí)的齒面接觸應(yīng)力值大于退出嚙合時(shí)的齒面接觸應(yīng)力值。

　　(2)大輪和小輪的彎曲應(yīng)力極值點(diǎn)都發(fā)生在輪齒退出嚙合時(shí)的雙齒嚙合最高點(diǎn)附近，大輪的最大彎曲應(yīng)力出現(xiàn)在靠近大端的齒根過渡圓角處，小輪的最大彎曲應(yīng)力出現(xiàn)在靠近小端的齒根過渡圓角處。

　　(3)斜齒錐齒輪副加載嚙合過程中，在穩(wěn)定嚙合階段，接觸力時(shí)間歷程曲線在理論計(jì)算值附近上下波動(dòng)，其中，負(fù)載越大對(duì)應(yīng)波動(dòng)值也越大;同時(shí)，驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果的一致性。

　　(4)斜齒錐齒輪單齒接觸力曲線較為平滑，在3齒嚙合區(qū)附近呈近對(duì)稱分布，且具有較高的重合度，滿足齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性的必要條件。研究結(jié)果為斜齒錐齒輪的進(jìn)一步拓?fù)湫扌魏托阅軆?yōu)化奠定了基礎(chǔ)。