為了解決傳統(tǒng)齒輪承載接觸分析力學(xué)解析方法難以考慮齒廓修形的問(wèn)題，以齒廓修形漸開(kāi)線直齒輪為研究對(duì)象，基于時(shí)變嚙合剛度，提出了一種齒輪承載情況下齒間載荷分配系數(shù)與齒面接觸應(yīng)力解析算法。通過(guò)對(duì)比齒輪承載接觸時(shí)接觸點(diǎn)在嚙合線方向的變形量與修形量，提出修形齒輪單雙齒嚙合狀態(tài)判定方法，并計(jì)算不同狀態(tài)下的嚙合剛度; 推導(dǎo)修形齒輪的嚙合力、剛度與變形的力學(xué)關(guān)系，建立各嚙合齒對(duì)的齒間載荷分配系數(shù)計(jì)算模型，應(yīng)用赫茲接觸理論求解齒面接觸應(yīng)力; 分別在不同修形高度、修形曲線與配對(duì)齒數(shù)情況下，計(jì)算分析多種齒廓修形算例的齒間載荷分配系數(shù)與齒面接觸應(yīng)力。結(jié)果表明，解析算法求解的齒間載荷分布系數(shù)、齒面接觸應(yīng)力及相應(yīng)單雙齒嚙合區(qū)間與有限元結(jié)果相一致，相對(duì)誤差較小，證明了該算法有較高的精度與穩(wěn)定性，為齒廓修形齒輪承載接觸分析提供一種高效便捷的新方法。

　　輪齒承載能力是評(píng)價(jià)齒輪傳動(dòng)品質(zhì)的一項(xiàng)重要標(biāo)準(zhǔn)，齒間載荷分配系數(shù)和面接觸應(yīng)力的模型精度是齒輪承載接觸力學(xué)計(jì)算結(jié)果精確性的前提與關(guān)鍵。齒輪修形可以有效改善齒輪動(dòng)載荷變化梯度，減少?zèng)_擊、振動(dòng)與噪音，對(duì)提高齒輪傳動(dòng)品質(zhì)有十分重要的作用。然而，已有的齒輪承載接觸分析力學(xué)解析模型大都只能考慮鼓形的齒向修形，較難計(jì)入齒廓修形的影響。

　　對(duì)于齒輪承載過(guò)程中產(chǎn)生的齒面接觸應(yīng)力，學(xué)者常采用有限元法和解析法。其中，有限元法建模精度高，且計(jì)算結(jié)果精確，因而得到較為廣泛的應(yīng)用。朱才朝利用基于勢(shì)能法的三段函數(shù)式齒間載荷分配系數(shù)模型分析齒輪的彈流潤(rùn)滑特性; AZNAR 等采用 MPC 算法與局部網(wǎng)格細(xì)化法優(yōu)化齒輪的承載接觸有限元模型，提高了計(jì)算精度與效率; MAPER 等建立了包含齒廓修形的漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪承載接觸有限元模型; 唐進(jìn)元等利用有限元分析了正交面齒輪的重合度、載荷分布、接觸應(yīng)力等承載接觸性能參數(shù); 白恩軍等建立了斜齒圓柱齒輪承載接觸有限元模型。然而，有限元算法計(jì)算精度依賴于模型的網(wǎng)格質(zhì)量和局部網(wǎng)格細(xì)化程度，存在計(jì)算效率低、收斂難的問(wèn)題。

　　相較于有限元法，基于赫茲彈性接觸理論的力學(xué)解析算法，計(jì)算快捷高效受到了越來(lái)越多的關(guān)注與研究。王會(huì)良等基于齒輪 TCA 法和齒面柔度系數(shù)，分析齒輪承載接觸特性，建立了齒輪 LTCA 理論; 曹雪梅等提出一種簡(jiǎn)化輪齒接觸分析中非線性方程數(shù)量的分解算法，提高了計(jì)算效率; 王羽達(dá)等基于輪齒 TCA 模型和赫茲接觸理論，計(jì)算了漸開(kāi)線齒輪的動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力。

　　綜上所述，傳統(tǒng)齒間載荷分配系數(shù)解析建模未考慮齒廓修形及其引起的單雙齒接觸區(qū)域變化，無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算承載嚙合齒對(duì)的齒間載荷分配系數(shù)與齒面接觸應(yīng)力，同時(shí)，LTCA 方法大都僅在 TCA 分析階段考慮齒廓修形，而在齒面柔度系數(shù)或承載接觸分析時(shí)采用有限元方法。為此，本文以齒廓修形的漸開(kāi)線直齒輪為研究對(duì)象，提出修形齒輪單雙齒嚙合狀態(tài)的 s 判定方法與相應(yīng)的嚙合剛度計(jì)算方法，建立更為精確的修形齒輪齒間載荷分配系數(shù)與齒面接觸應(yīng)力解析算法，對(duì)不同修形高度、修形曲線與配對(duì)齒數(shù)條件下的齒輪算例進(jìn)行承載接觸分析，并與同參數(shù)下的有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證解析算法的精度與穩(wěn)定性。

　　一、齒廓修形的漸開(kāi)線直齒輪模型

　　為建立齒廓修形漸開(kāi)線直齒輪的齒廓曲線方程，需確定齒廓最大修形量 Δ_maxi、修形高度 h、修形曲線，根據(jù)文獻(xiàn)最大修形量 Δ_maxi為:

　　式中: Δ_maxi、c_i 分別為最大修形量與修形修正量(i 為 1、2，用以區(qū)分參與嚙合的主/從動(dòng)輪) ，相應(yīng)的主/從動(dòng)輪修形修正量 c₁、c₂ 分別取 9 與 4 ，F(xiàn)_t 為接觸點(diǎn)的圓周力，B 為齒輪寬度。

　　建立坐標(biāo)系 X_dOY_d，如圖 1 所示，以 Δ_x 作為增量等距離散嚙合線，并在圓周方向上計(jì)算出輪齒 1 上的齒廓對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若該點(diǎn)位于修形齒廓區(qū)域內(nèi)，嚙合線離散點(diǎn)的齒廓對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的修形量 Δ_j 為:

　　式中: 修形曲線變化系數(shù) k 由選取的修形曲線確定，Linear、Yoshio、Walker 與拋物線修形曲線變化系數(shù) k 分別為 1.0、1.2、1.5 與 2.0，x 為嚙合點(diǎn) M 在嚙合線方向上距離單雙齒變化點(diǎn) A 的距離，L 為輪齒 2 的修形區(qū)域在高度方向上對(duì)應(yīng)至嚙合線 A 點(diǎn)至 C 點(diǎn)的線段長(zhǎng)度( 長(zhǎng)修形) ，C 點(diǎn)為輪齒 1 的嚙合起始點(diǎn); 另外，根據(jù)文獻(xiàn)，正弦修形曲線的嚙合點(diǎn)修形量為:

　　確定齒廓對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的修形量 Δ_j 后，根據(jù)漸開(kāi)線齒廓曲線展成原理，可建立修形齒廓曲線參數(shù)方程為:

　　式中: u 為嚙合線離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)漸開(kāi)線齒廓處的參角，u = θ + α_t，θ 為嚙合點(diǎn)處展角，α_t 為壓力角。

　　二、修形齒輪單雙齒嚙合狀態(tài)判定與嚙合剛度

　　標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪副在承載嚙合傳動(dòng)過(guò)程中齒輪嚙合剛度主要包括 3 部分: 輪齒剛度(彎曲剛度 k_b、剪切剛度 k_s 與徑向壓縮剛度 k_a ) 、齒輪接觸剛度 k_c 與齒輪基體剛度 k_f。單齒嚙合剛度 K_i 為上述各剛度的串聯(lián)形式，雙齒嚙合剛度 K_all為兩對(duì)輪齒嚙合剛度的并聯(lián)形式。

　　式中: i 為 1、2，用于區(qū)分參與嚙合的不同齒對(duì)，下標(biāo) g、e 分別表示主動(dòng)輪與從動(dòng)輪。

　　當(dāng)采用齒廓修形時(shí)，原單齒嚙合區(qū)間的齒輪嚙合剛度根據(jù)式(5) 進(jìn)行計(jì)算，原雙齒嚙合區(qū)間由于修形齒廓參與嚙合，嚙合狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化，需要重新判定嚙合狀態(tài): 根據(jù)齒對(duì)嚙合力與嚙合剛度計(jì)算接觸點(diǎn)處沿嚙合線方向的變形量，然后與接觸點(diǎn)處修形量進(jìn)行對(duì)比，基于二者的大小關(guān)系判定修形齒輪副的單雙齒嚙合狀態(tài)，并計(jì)算單雙齒的嚙合區(qū)間與嚙合剛度，其中，修形齒輪嚙合剛度定義為 K_TPM。

　　如圖 2a 所示，當(dāng)主動(dòng)輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，齒對(duì) 1 首先進(jìn)入嚙合承擔(dān)載荷，由于齒對(duì) 2 主動(dòng)輪處存在修形齒廓，當(dāng)齒對(duì) 1 沿嚙合線方向的變形量 δ₁ 大于齒對(duì) 2 處主動(dòng)輪的齒廓修形量 Δ₁ 時(shí)，齒對(duì) 2 將進(jìn)入嚙合并參與傳動(dòng)，此時(shí)兩對(duì)輪齒共同承擔(dān)負(fù)載扭矩 T_c，并在嚙合線方向上的兩處作用點(diǎn)產(chǎn)生嚙合力 F₁、F₂，根據(jù)力矩平衡和廣義胡克定律可得:

　　式中: K₁、K₂ 與 δ₁、δ₂ 分別為齒對(duì) 1、齒對(duì) 2 的單齒嚙合剛度與接觸點(diǎn)沿嚙合線方向的變形量，r_b2為從動(dòng)輪的基圓半徑。

　　與此同時(shí)，齒對(duì) 1 沿嚙合線方向的變形量 δ₁ 即為整體嚙合變形量 δ_all，則 δ_all = δ₁ > δ₂，相應(yīng)的修形齒輪嚙合剛度 K_TPM為:

　　式中: F_n 為齒輪副法向力，根據(jù)式(7) 將式(8) 推導(dǎo)為:

　　同時(shí)，齒對(duì) 2 在嚙合點(diǎn)處嚙合變形量 δ₂ 與修形量 Δ_j 之和等于齒對(duì) 1 處嚙合變形量為 δ₁。

　　將式(10) 帶入式(9) ，可得到:

　　將式(8) 轉(zhuǎn)化為關(guān)于變形量 δ₁ 的表達(dá)式，并代入式(11) ，可推導(dǎo)得出圖 2a 所示齒對(duì)承載接觸狀態(tài)下的修形齒輪嚙合剛度 K_TPM，即式(12) 中條件為 δ_all = δ₁ > _δ2 的表達(dá)式; 同樣地，如圖 2b 所示的齒對(duì)承載接觸狀態(tài)，此時(shí)齒對(duì) 2 沿嚙合線方向的變形量 δ₂ 即為整體嚙合變形量 δ_all，即 δ_all = δ₂ > δ₁，同理可推導(dǎo)出相應(yīng)的修形齒輪嚙合剛度 K_TPM，即式(12) 中條件為 δ_all = δ₂ > δ₁ 的表達(dá)式。因此，圖 2 所示齒對(duì)承載接觸狀態(tài)下的修形齒輪嚙合剛度 K_TPM可寫為:

　　式(12) 即為齒廓修形漸開(kāi)線直齒輪的嚙合剛度分析方法，下文將建立單雙齒嚙合狀態(tài)的判定模型，確定實(shí)際雙齒嚙合區(qū)間，然后依據(jù)式(12) 計(jì)算雙齒區(qū)間內(nèi)的齒輪嚙合剛度。

　　如圖 3 所示，基于主動(dòng)輪齒廓，對(duì)齒輪副嚙合區(qū)間進(jìn)行劃分，分析齒對(duì) 1、2 的接觸嚙合狀態(tài)及相應(yīng)的嚙合剛度，點(diǎn) a₁ 為嚙入點(diǎn)，點(diǎn) a₃、a₄ 為單雙齒嚙合變化點(diǎn)，點(diǎn) a₂、a₅ 為原雙齒接觸區(qū)域平分點(diǎn)，點(diǎn) a₁ ～ 點(diǎn) a₅ 將接觸區(qū)域劃分為 A₁、A₂、A₃、A₄、A₅。

　　如圖 3a 所示，當(dāng)齒對(duì) 1 以 a₁ 點(diǎn)即將進(jìn)入接觸區(qū)域 A₁ 參與嚙合時(shí)，齒對(duì) 1 中從動(dòng)輪待接觸區(qū)域存在修形齒廓，若齒對(duì) 2 沿嚙合線方向的變形量 δ₂ 大于齒對(duì) 1 中從動(dòng)輪修形量 Δ₂，則齒對(duì) 1 接觸參與嚙合，即為雙齒嚙合狀態(tài)，此時(shí)的修形齒輪嚙合剛度 K_TPM可依據(jù)式 (12) 計(jì)算; 若齒對(duì) 2 沿嚙合線方向的變形量 δ₂ 小于齒對(duì) 1 中主動(dòng)輪修形量 Δ₂，則齒對(duì) 1 不參與嚙合，此時(shí)為單齒嚙合狀態(tài)(齒對(duì) 2 單獨(dú)承載) ，齒對(duì) 2 的嚙合剛度 K₂ 依據(jù)式(5) 進(jìn)行計(jì)算。

　　如圖 3b 所示，當(dāng)齒對(duì) 1 以 a₂ 點(diǎn)即將進(jìn)入接觸區(qū)域 A₂ 參與嚙合時(shí)，齒對(duì) 2 中主動(dòng)輪待接觸區(qū)域存在修形齒廓，若齒對(duì) 1 沿嚙合線方向的變形量 δ₁ 大于齒對(duì) 2 中主動(dòng)輪修形量 Δ₁，則齒對(duì) 2 接觸參與嚙合，即為雙齒嚙合狀態(tài)，此時(shí)的修形齒輪嚙合剛度 K_TPM可依據(jù)式 (17) 計(jì)算; 若齒對(duì) 1 沿嚙合線方向的變形量 δ1 小于齒對(duì) 2 中主動(dòng)輪修形量 Δ1，則齒對(duì) 2 不參與嚙合，此時(shí)為單齒嚙合狀態(tài)(齒對(duì) 1 單獨(dú)承載) ，齒對(duì) 1 的嚙合剛度 K1 依據(jù)式(5) 進(jìn)行計(jì)算。

　　如圖 3c 所示，當(dāng)齒對(duì) 1 以 a₃ 點(diǎn)即將進(jìn)入接觸區(qū)域 A₃ 參與嚙合時(shí)，此時(shí)接觸區(qū)域 A₃ 為單齒嚙合狀態(tài)，齒對(duì) 1 的嚙合剛度依據(jù)式(5) 進(jìn)行計(jì)算。

　　綜合圖 3 所述，即可得到齒廓修形齒輪在各嚙合位置的單雙齒嚙合狀態(tài)判定與相應(yīng)嚙合剛度計(jì)算方法。

　　三、齒廓修形漸開(kāi)線直齒輪承載接觸分析

　　齒間載荷分配系數(shù)

　　未修形齒輪的齒間載荷分配系數(shù)：根據(jù)式(6) 確定的雙齒嚙合剛度 K_all與齒輪整體變形量 δ_all，法向力 F_n 可表示為:

　　根據(jù)式(7) 中確定的載荷、剛度以及變形關(guān)系，帶入式(13) 等式左側(cè)，可推導(dǎo)出:

　　由于嚙合齒對(duì)在嚙合線方向上變形量 δ₁、δ₂ 中的較大值與雙齒嚙合整體變形量 δ_all相等，此時(shí)無(wú)論δ_all = δ₁≥δ₂ 或 δ_all = δ₂≥δ₁，根據(jù)式(14) 皆可推導(dǎo)出各嚙合齒對(duì)在嚙合線方向上的變形量 δ₁、δ₂ 與雙齒整體嚙合變形量 δ_all相等，即:

　　進(jìn)一步可根據(jù)式(7) 中嚙合力、剛度與變形的數(shù)學(xué)關(guān)系推導(dǎo)出:

　　式中: F_i 為接觸齒對(duì)的嚙合力( i 為 1、2) 。

　　對(duì)式(16) 進(jìn)行比例互換，可得到未修形下的齒輪齒間載荷分配系數(shù) S 為:

　　齒廓修形齒輪的齒間載荷分配系數(shù)：當(dāng)齒廓修形后，原雙齒嚙合區(qū)域的嚙合狀態(tài)發(fā)生變化，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪時(shí)變嚙合剛度式(5) 與齒廓修形齒輪嚙合剛度式(12) ，重新確定齒輪的單雙齒嚙合狀態(tài)與相應(yīng)嚙合剛度，繼而根據(jù)式(17) 計(jì)算修形齒輪不同齒廓區(qū)域參與嚙合的齒間載荷分配系數(shù) SLDF。根據(jù)圖 3，以齒對(duì) 1 為例，分析齒對(duì) 1 承載嚙合下的齒間載荷分配情況，具體為:

　　式中: K_u 為齒對(duì) 1 的嚙合剛度，當(dāng)齒對(duì) 1 處于單齒嚙合狀態(tài)時(shí)，其嚙合剛度依據(jù)式(5) 計(jì)算，即 K_u = K₁ ; 當(dāng)齒對(duì) 1、2 同時(shí)參與嚙合時(shí)，此時(shí)計(jì)算 K_u 需考慮齒對(duì) 2 嚙合剛度 K₂ 的疊加影響，即:

　　當(dāng)齒對(duì) 1 在齒廓區(qū)域 A₁ 處嚙合時(shí)，由于齒對(duì) 2 接觸變形量 δ₂ 的影響，齒對(duì) 1 存在非接觸與接觸兩種狀態(tài)，若 δ₂ > Δ₂，則齒對(duì) 1 接觸，此時(shí)為雙齒嚙合狀態(tài)，將式(18) 代入式(19) 可得到齒對(duì) 1 的齒間載荷分配系數(shù) S_LDF。

　　若 δ₂ < Δ₂，則齒對(duì) 1 為非接觸狀態(tài)，此時(shí)齒對(duì) 1 不分擔(dān)載荷，則齒間載荷分配系數(shù)為 0，即:

　　當(dāng)齒對(duì) 1 在齒廓區(qū)域 A₂ 處嚙合時(shí)，由于齒對(duì) 1 接觸變形量 δ₁ 的影響，齒對(duì) 2 存在非接觸與接觸兩種嚙合狀態(tài)，若 δ₁ > Δ₁，則齒對(duì) 1 接觸，此時(shí)為雙齒嚙合狀態(tài)，齒對(duì) 1 的嚙合齒廓為非修形區(qū)域，其齒間載荷分配系數(shù)根據(jù)式(22) 進(jìn)行計(jì)算。

　　若 δ₁ < Δ₁，則齒對(duì) 2 為非接觸，此時(shí)齒對(duì) 1 承擔(dān)全部載荷，齒間載荷分配系數(shù)為 1，即:

　　當(dāng)齒對(duì) 1 在齒廓 A₃ 處嚙合時(shí)，此時(shí)為單齒嚙合區(qū)域，齒間載荷分配系數(shù)為 1，即:

　　當(dāng)齒廓進(jìn)入 A₄、A₅ 段參與嚙合時(shí)，齒對(duì) 1 皆為非修形齒廓參與嚙合，此時(shí)僅考慮齒對(duì) 1 的嚙合剛度，即 K_u = K₁，相應(yīng)的齒間載荷分配系數(shù)為:

　　綜上所述，在一個(gè)嚙合周期內(nèi)，根據(jù)齒對(duì) 1 在齒廓區(qū)域 A₁、A₂、A₃、A₄、A₅ 是否接觸參與嚙合及其嚙合狀態(tài)判定，計(jì)算參與嚙合齒對(duì)的嚙合剛度，根據(jù)式(18) ～ 式(25) ，可得到修形漸開(kāi)線直齒輪齒間載荷分配系數(shù) S_LDF計(jì)算模型。

　　齒面接觸應(yīng)力

　　根據(jù)上述建立的修形齒輪齒間載荷分配系數(shù)模型，可計(jì)算嚙合力 F_i，繼而根據(jù)赫茲接觸理論計(jì)算齒面接觸應(yīng)力。

　　首先，需確定不同齒廓赫茲接觸類型下接觸點(diǎn)處的綜合曲率半徑 R_e，針對(duì)未修形的齒廓區(qū)域，根據(jù)歐拉薩瓦利公式，通過(guò)計(jì)算沿嚙合線方向上基圓至嚙合點(diǎn)的距離求得其曲率半徑 ρ₁、ρ₂，對(duì)于齒廓修形區(qū)域，以主動(dòng)輪為例，根據(jù)微分幾何與修形齒廓方程式 (4) ，可推導(dǎo)出修形齒廓曲率 C_TPM與曲率半徑 ρ_TPM。

　　針對(duì)齒廓修形齒輪承載嚙合時(shí)存在的不同赫茲接觸類型，可推導(dǎo)出相應(yīng)的綜合曲率半徑 R_e。

　　通過(guò)式(26) 確定的齒間載荷分配系數(shù) S_LDF，可計(jì)算出參與嚙合齒對(duì)的接觸力 F_i，根據(jù)式(29) 所得綜合曲率半徑 R_e，基于赫茲彈性接觸理論，可推導(dǎo)出修形齒輪承載接觸時(shí)的齒面接觸應(yīng)力 σ_H 與接觸半寬 b。

　　式中: E_e 為綜合彈性模量，具體表達(dá)式為:

　　式中: E₁、E₂ 與 ν₁、ν₂ 分別為主、從動(dòng)輪的彈性模量與泊松比。

　　如圖 4 所示為該解析算法的流程圖。

　　四、計(jì)算結(jié)果分析與討論

　　基于上述建立的算法，求解不同修形高度、修形曲線與配對(duì)齒數(shù) 3 種條件下不同算例的齒間載荷分配系數(shù)與齒面接觸應(yīng)力，并與同參數(shù)下的有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比評(píng)價(jià)，驗(yàn)證本文解析算法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性?；诒?1 中拋物線修形齒輪的主要幾何參數(shù)，每種條件下選取 5 個(gè)算例求解以上不同齒廓修形齒輪算例的齒間載荷分配系數(shù)(圖 5 ～ 圖 7) 和齒面接觸應(yīng)力(圖 12 ～ 圖 14) 。使用有限元法對(duì)比評(píng)價(jià)解析 算法結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，以驗(yàn)證算法的正確性。

　　分析如圖 5 ～ 圖 7 所示的齒間載荷分配系數(shù)結(jié)果可知:

　　(1) 本文解析算法與有限元兩種計(jì)算方法的齒間載荷分配系數(shù)具有相同變化趨勢(shì): 由最小值逐漸增大至最大值 1，此過(guò)程為雙齒嚙合區(qū)間; 隨后進(jìn)入單齒嚙合區(qū)間，即 S_LDF = 1 的水平線; 再進(jìn)入雙齒嚙合區(qū)，下降至最小值。同時(shí)嚙合線各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的誤差數(shù)值較小。

　　(2) 根據(jù)圖 5 ～ 圖 7 數(shù)據(jù)結(jié)果，可得到不同齒廓修形算例在一個(gè)嚙合區(qū)間內(nèi)的齒間載荷分配系數(shù)誤差均值，如圖 8 所示，每種條件下 5 個(gè)算例誤差均值變化范圍分別為 7.5% ～ 9.2%、7.5% ～ 8.0%、5.6% ～ 7.8%， 表明誤差均值較小且不同算例的誤差均值相近。算例結(jié)果分析表明，對(duì)于不同算例情況下的齒輪副，本文解析算法的齒間載荷分配系數(shù)計(jì)算精度較高，且算法具有較好的誤差穩(wěn)定性。

　　(3) 根據(jù)圖 5 ～ 圖 7 數(shù)據(jù)結(jié)果，分析齒廓修形后每個(gè)算例的單齒嚙合區(qū)位置誤差，以此可進(jìn)一步評(píng)價(jià)解析算法的計(jì)算精度。其中，齒廓修形后的單齒嚙合區(qū)起始點(diǎn)位置誤差、結(jié)束點(diǎn)位置誤差與嚙合區(qū)間位置誤差分別如圖 9 ～ 圖 11 所示。不同修形高度、修形曲線 與配對(duì)齒數(shù)算例的單齒嚙合區(qū)起始誤差變化范圍分別為 5.8% ～12.4%、5.1% ～14.2%、5.8% ～10.1%，單齒嚙合區(qū)結(jié)束點(diǎn)位置誤差變化范圍分別 9.2% ～ 13.1%、 6.1% ～13.3%、9.7% ～ 12.6%，單齒嚙合區(qū)間位置誤差變化范圍分別為 3.2% ～12.5%、3.2% ～ 13.0%、2.2% ～ 8.8% ，表明解析算法所得出的單雙齒變換點(diǎn)及其區(qū)間大小與有限元結(jié)果之間誤差較小，可較為準(zhǔn)確地計(jì)算出單雙齒嚙合變換點(diǎn)以及嚙合區(qū)間位置。因此，本文解析算法中依據(jù)修形量與變形建立的單雙齒嚙合區(qū)間判定方法具有較高的計(jì)算精度，可較為準(zhǔn)確的計(jì)算單雙齒變換點(diǎn)以及嚙合區(qū)間位置。

　　(4) 另外，由于配對(duì)齒數(shù)的變化，齒輪副有效嚙合區(qū)間也會(huì)隨之變化，分析圖 7 中得到的橫坐標(biāo)實(shí)際嚙合線長(zhǎng)度可得到齒廓修形齒輪的有效嚙合區(qū)間，相對(duì)于有限元結(jié)果，5 個(gè)配對(duì)齒數(shù)算例的有效嚙合區(qū)間誤差分別為 1.3% 、1.0% 、3.0% 、3.1% 、1.1% ，相對(duì)誤差較小，表明本文解析算法對(duì)不同配對(duì)齒數(shù)的齒輪副嚙合區(qū)間計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度較高。

　　分析如圖 12 ～ 圖 14 所示的 4 種條件下不同齒廓修形算例在一個(gè)嚙合區(qū)間內(nèi)的齒面接觸應(yīng)力結(jié)果可知:

　　(1) 解析算法的齒面接觸應(yīng)力結(jié)果與有限元結(jié)果在變化趨勢(shì)具有較好的一致性; 根據(jù)圖 12 ～ 圖 14 的齒面接觸應(yīng)力結(jié)果，可得到 3 種條件下齒廓修形算例在一個(gè)嚙合區(qū)間內(nèi)的齒面接觸應(yīng)力誤差均值( 圖 15a) 變化范圍分別為7.0% ～ 9.0%、8.4% ～ 10.4%、9.0% ～ 10.7%，誤差均值較小，同時(shí)不同算例間誤差均值相近，表明解析算法具有較高的齒面接觸應(yīng)力計(jì)算精度與誤差穩(wěn)定性。

　　(2) 與此同時(shí)，在修形齒輪剛開(kāi)始進(jìn)入嚙合、即將退出嚙合以及修形曲線與漸開(kāi)線過(guò)渡區(qū)域，有限元結(jié)果產(chǎn)生了局部應(yīng)力突變，以圖 12 ～ 圖 14 中的 A、B 區(qū)域?yàn)槔?，主要由以下兩個(gè)原因?qū)е? ①剛開(kāi)始嚙入與即將退出嚙合時(shí)，接觸齒對(duì)嚙合力較小，需要極小網(wǎng)格尺寸( 低于微米 1 ～2 個(gè)量級(jí)) 才能有效捕捉到該處的接觸應(yīng)力信息，建模困難，且嚙入時(shí)齒頂部位存在幾何尖點(diǎn); ②修形齒廓過(guò)渡區(qū)域?qū)缀吻十a(chǎn)生一定程度的嚙合畸變。因此，當(dāng)求解步長(zhǎng)位于上述位置附近時(shí)會(huì)直接影響有限元計(jì)算結(jié)果，導(dǎo)致有限元局部應(yīng)力突變、計(jì)算誤差較大，這是不可避免的。除去由有限元結(jié)果突變區(qū)域所帶來(lái)的計(jì)算誤差后，解析算法的齒面接觸應(yīng)力在一個(gè)嚙合區(qū)間內(nèi)的誤差均值(圖 15b) 變化范圍分別為 4.8% ～ 6.4% 、4.5% ～ 6.8% 、6.1% ～ 8.6% ，再次表明解析算法具有較高的齒面接觸應(yīng)力計(jì)算精度與誤差穩(wěn)定性。

　　五、結(jié)論

　　(1) 本文針對(duì)齒廓修形的漸開(kāi)線直齒輪，通過(guò)對(duì)比承載齒輪接觸點(diǎn)沿嚙合線方向的變形量與修形量，得到了修形齒輪單雙齒嚙合狀態(tài)的判定方法與相應(yīng)嚙合剛度的計(jì)算方法，通過(guò)推導(dǎo)修形齒輪嚙合力、剛度與變形的力學(xué)關(guān)系，建立了修形齒輪各嚙合齒對(duì)精確的 齒間載荷分配系數(shù)計(jì)算模型。

　　(2) 基于齒間載荷分配系數(shù)計(jì)算了嚙合齒對(duì)實(shí)際承擔(dān)載荷，應(yīng)用歐拉薩瓦利公式和赫茲接觸理論，建立了齒廓修形齒輪嚙合過(guò)程中的齒面接觸應(yīng)力模型。

　　(3) 不同修形高度、修形曲線與配對(duì)齒數(shù)條件下多種齒廓修形齒輪的算例結(jié)果表明: 本文所提出解析算法的齒間載荷分配系數(shù)、齒面接觸應(yīng)力與相應(yīng)單雙齒嚙合區(qū)間結(jié)果與有限元方法結(jié)果變化規(guī)律相一致，相對(duì)誤差較小，具有較高的計(jì)算精度與穩(wěn)定性，為齒廓修形漸開(kāi)線直齒輪的承載接觸分析提供了一種高效便捷的新方法。

　　參考文獻(xiàn)略.