齒輪對(duì)于制造業(yè)的重要性不言而喻，而刮齒與傳統(tǒng)的齒輪加工方法相比具有更高的效率及更廣闊的應(yīng)用前景?，F(xiàn)存的根據(jù)插齒刀設(shè)計(jì)理論衍生出的刮齒刀在理論刀刃誤差方面存在嚴(yán)重不足。在加工中由于刀具工作角度的變化容易與工件發(fā)生干涉現(xiàn)象，降低加工精度與加工質(zhì)量。首先，根據(jù)刮齒刀已有的相關(guān)學(xué)術(shù)成果，對(duì)刮齒過(guò)程中齒面形成過(guò)程進(jìn)行分析，建立了刮齒刀運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和誤差模型。其次，在刀具包絡(luò)齒輪理論的基礎(chǔ)上，對(duì)刀具刃口位置和定位誤差對(duì)齒輪齒廓偏差的影響進(jìn)行定量分析。結(jié)果表明，加工精度存在偏差受刀具參數(shù)和加工參數(shù)的影響。通過(guò)對(duì)理論加工誤差的分析，進(jìn)行正交試驗(yàn)選擇參數(shù)的最優(yōu)組合，并且用選定的參數(shù)進(jìn)行加工試驗(yàn)。結(jié)果表明，所提出的優(yōu)化方法能夠有效提高加工精度與加工質(zhì)量。

　　刮齒技術(shù)作為一種高效、環(huán)保的齒輪加工技術(shù)，在 21 世紀(jì)得到了越來(lái)越多的關(guān)注。在這項(xiàng)技術(shù)方面，20 世紀(jì)初便有人提出這一設(shè)想并獲得專利。然而這種方法在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有付諸實(shí)踐，因?yàn)楣锡X技術(shù)對(duì)當(dāng)時(shí)的刮削刀具提出了很大挑戰(zhàn)。Kojima在 1974 年對(duì)生產(chǎn)方法進(jìn)行了研究，根據(jù)齒廓分析理論分析了切割器與直齒圓柱齒輪之間的幾何關(guān)系，并對(duì)刮削刀具的游隙角進(jìn)行了數(shù)值研究。隨著傳動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)控裝置、剛性電子齒輪箱、復(fù)雜的刀具幾何形狀及快速涂覆技術(shù)的進(jìn)化，動(dòng)力切削由于其高生產(chǎn)率和靈活的替代性逐步占據(jù)了先進(jìn)技術(shù)的市場(chǎng)。德國(guó) Primulter GMH & Co.KG 機(jī)床公司于 2006 年提供了 S240R 磨床。長(zhǎng)沙機(jī)床有限公司 2010 年度開(kāi)發(fā)了切片機(jī) YK1015A。Gleason 在 2013 年出產(chǎn)了動(dòng)力刮削機(jī) 600 PS。刮齒刀是車削齒輪加工系統(tǒng)的重要組成部分，刀具參數(shù)和加工參數(shù)的合理組合是充分發(fā)揮這一技術(shù)優(yōu)勢(shì)的保障。關(guān)于刮齒的理論研究與技術(shù)尚處于比較落后的階段，暫無(wú)公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)，但是由于刮齒的切削造就了齒輪齒面的形成，因此，文中主要從齒面形成過(guò)程來(lái)對(duì)刀具參數(shù)優(yōu)化展開(kāi)研究工作。從工程實(shí)際可以看到，用于加工內(nèi)齒輪的動(dòng)力切削過(guò)程比成形更快，并且削屑的連續(xù)切削能力遠(yuǎn)比拉削更靈活。數(shù)值計(jì)算工具的興起極大地促進(jìn)了刮齒技術(shù)的發(fā)展，Spath 等將動(dòng)力刮削作為現(xiàn)代齒輪加工解決方案，闡述了動(dòng)力刮削過(guò)程的經(jīng)濟(jì)環(huán)保，隨后利用試驗(yàn)表明了其優(yōu)勢(shì)和發(fā)展?jié)摿?。Schulze 等和 Hartmut 等針對(duì)齒輪動(dòng)力刮削提出了一種半精削的方法和裝置。王愛(ài)群等通過(guò)旋切法建立刀具運(yùn)動(dòng)模型，針對(duì)提高齒輪加工精度提出了“兩步”加工法和刀具選擇的注意事項(xiàng)，并驗(yàn)證了其所提方法的有效性。

　　由于現(xiàn)在關(guān)于刀具參數(shù)與加工參數(shù)的優(yōu)化方法缺乏科學(xué)的理論依據(jù)，導(dǎo)致最優(yōu)參數(shù)的確定有一定的困難。因此，文中首先建立了刮齒刀運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)相對(duì)速度的推導(dǎo)對(duì)刀具工作角度進(jìn)行定義。在此基礎(chǔ)上，建立理論齒面和加工齒面之間的誤差模型，討論干涉判斷刀具參數(shù)方法，最后利用正交試驗(yàn)法選擇恰當(dāng)?shù)牡毒邊?shù)與加工參數(shù)來(lái)提高加工精度。因此，切削速度取決于電機(jī)的轉(zhuǎn)數(shù)和軸角。

　　一、刮齒切削原理

　　刮齒是通用齒輪制造中的一種連續(xù)切削方法。在這種制造技術(shù)中，它與一般的車刀和刮刀不同。切削過(guò)程是由刀具與工件之間的相對(duì)速度引起的。刀具相對(duì)于工件放置在橫軸角度上，類似于剃須過(guò)程，并且刮齒動(dòng)作是由刀具和工件之間的相對(duì)速度引起的。相對(duì)于內(nèi)齒輪的刮削刀具的幾何結(jié)構(gòu)如圖 1 所示。將笛卡爾坐標(biāo)系 S₁(O₁-x₁y₁z₁)和 S₂(O₂-x₂y₂z₂)分別假設(shè)為工件和刮齒刀的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，且工件與刮齒刀之間為剛性連接。在圖 1 主視圖中可以得出，內(nèi)齒輪在 S₁ 坐標(biāo)系中進(jìn)行定位，其旋轉(zhuǎn)軸與 z₁ 共線。而刮齒刀則在 S₂ 坐標(biāo)系中進(jìn)行定位，其旋轉(zhuǎn)軸與 z₂ 共線。刀具中心通過(guò)矢量距離 a 定位在 x_y 平面中心，齒輪和刀具的節(jié)距圓在圓周的最低點(diǎn)進(jìn)行切向接觸。同樣，在圖 1 俯視圖中對(duì)工件軸和刮齒刀軸構(gòu)成的刀具工作角度進(jìn)行了示意。以直齒輪為例，軸向進(jìn)給速度 v⁽²⁾₀ 與 z₁ 共線，假設(shè)工件運(yùn)動(dòng)角速度和刀具運(yùn)動(dòng)角速度分別為 ω₁ 和 ω₂。隨著軸向進(jìn)給 v⁽²⁾₀開(kāi)始，工件繞 z₁ 旋轉(zhuǎn) φ₁，刀具繞 z₂ 旋轉(zhuǎn) φ₂。在滾動(dòng)刮齒過(guò)程中，利用工件和刮齒刀具相對(duì)運(yùn)動(dòng)使得切削速度 v_c 形成定位約束。如圖 1 所示，刀具速度 v₂ 被劃分為軸向速度 v_2a 和切向速度 v_2t。然后，切向速度 v_2t 和工件運(yùn)動(dòng)速度 v₁ 耦合得到切向速度 v_t。因此，切削速度 v_c 由軸向速度 v_2a 和切向速度 v_t 引起。在加工斜齒輪的情況下，行程運(yùn)動(dòng)中取 z₁ 軸方向作為進(jìn)給方向，但增量角速度 Δω₁ 依賴于軸向進(jìn)給，必須添加到 ω₁。工件的增量角速度 Δω₁為：

　　式中：m_n——工件齒的法向模數(shù);

　　? ? ? ? ? ?z_g——工件的齒數(shù)。

　　工件與刀具的角速度與軸向進(jìn)給速度之間的關(guān)系滿足：

　　式中：z_t——刮齒刀齒數(shù)。

　　相反，如果工件提供增量運(yùn)動(dòng)，則關(guān)系可以表示為：

　　二、刮齒加工理論誤差討論

　　理論刮齒面數(shù)學(xué)模型

　　假設(shè)進(jìn)給導(dǎo)程為 P_z，理論刮齒面即在加工過(guò)程中刮齒刀沿工件軸線進(jìn)給所構(gòu)成的漸開(kāi)螺旋面。所以，刮齒刀沿軸線的進(jìn)給量與導(dǎo)程之間存在線性關(guān)系：

　　如圖 2 所示，在工件坐標(biāo)系 S₁(O₁-x₁y₁z₁)中，理論刮齒曲線的極坐標(biāo)為：

　　式中：θ_L——進(jìn)給極角;

　? ? ? ? ? ? ? ρ——極徑。

　　假設(shè)理論刮齒面上刮齒邊緣存在某一特定的點(diǎn) m₀ 的極徑為 ρ₀，進(jìn)給極角為 θ_L0，ρ₀ 與刮齒刀坐標(biāo)系 S₂(O₂-x₂y₂z₂)中 x₂ 軸的夾角為 σ;刮齒邊緣其余任意一點(diǎn) m₁ 的極徑為 ρ，進(jìn)給極角為 θ_L，則∠(ρ，ρ₀)=θ_L-θ_L0，且∠(ρ，x₂)=σ+θ_L-θ_L0。隨著刮齒刀運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角為 ξ 時(shí)，刮齒刀自身相當(dāng)于沿 z₁ 方向移動(dòng) pξ，因此，理論刮齒面參數(shù)方程描述為：

　　將 ρ₀ 與 x₂ 軸的夾角為 σ₀ 時(shí)作為刮齒起始點(diǎn)，u 為刮齒邊緣參數(shù)，且 σ₀+u=σ+θ_L-θ_L0+ξ，對(duì)式(6)進(jìn)行簡(jiǎn)化描述：

　　實(shí)際刮齒與理論刮齒誤差模型

　　實(shí)際刮齒面與理論刮齒面誤差模型進(jìn)行討論時(shí)，首先將一個(gè)理論刮齒面作為參考標(biāo)準(zhǔn)。為了確定目標(biāo)理論刮齒面，可以通過(guò)最小二乘法對(duì)曲面進(jìn)行擬合，討論刮齒面上某一點(diǎn)與其鄰近刮齒面之間的距離，從而確定加工誤差。

　　首先，需要對(duì)實(shí)際刮齒面與理論刮齒面進(jìn)行假設(shè)，設(shè)實(shí)際刮齒面為 r_∑(r_∑，φ_∑)，理論刮齒面為 r_LK(ρ，ξ，σ_k)。由于在刮齒過(guò)程中，待加工工件與刮齒刀對(duì)應(yīng)的產(chǎn)形輪在節(jié)點(diǎn)處共軛，所以可以將工件節(jié)點(diǎn)作為依據(jù)來(lái)計(jì)算理論刮齒面的初始位置 σ₀。

　　在車削內(nèi)齒的過(guò)程中，工件與刀具的中心距為 a= r_f1-r_f2，r_f1 為工件齒根圓半徑，r_f2 為刮齒刀齒頂圓半徑。以漸開(kāi)線為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)刀具齒頂圓與工件齒根圓嚙合理論，可以推導(dǎo)得到：

　　式中：β₁——工件的節(jié)距圓螺旋角;

　　r₁———工件節(jié)距圓半徑;

　　p₁———工件導(dǎo)程;

　　β₀₁———工件分度圓螺旋角;

　　r₀₁———工件分度圓半徑;

　　β₂———產(chǎn)形輪節(jié)距圓螺旋角;

　　r₂———產(chǎn)形輪節(jié)距圓半徑;

　　p₂———產(chǎn)形輪導(dǎo)程;

　　β₀₂———產(chǎn)形輪分度圓螺旋角;

　　r₀₂———產(chǎn)形輪分度圓半徑。

　　考慮到車削外齒時(shí)，工件與刀具的中心距為 a=r_f1+ r_f2，以漸開(kāi)線為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)刀具齒頂圓與工件齒根圓嚙合理論，同樣可以用式(8)進(jìn)行類似描述，但是需要對(duì)其進(jìn)行修改，中心距為工件節(jié)距圓半徑與刮齒刀節(jié)距圓半徑之和，即 r_f1+r_f2=a。

　　無(wú)論是對(duì)直齒輪進(jìn)行切削還是對(duì)斜齒輪進(jìn)行切削，由于它們之間只是存在一個(gè)準(zhǔn)角的關(guān)系，因此就刀具包絡(luò)齒輪理論而言，刮齒刀主刃都必須與齒輪齒面共軛的產(chǎn)形輪齒面對(duì)應(yīng)。因此，主刀刃不僅位于產(chǎn)形輪齒面，更是前后刀面及產(chǎn)形輪齒面三者的交線，因此可以得到主刀刃參數(shù)方程：

　　式中：r_r(r)——刮齒主刀刃上某一點(diǎn)在 S₂ 下的矢量;

　? ? ? ? ? ? ? r——刀具坐標(biāo)系下，主刀刃上某一點(diǎn)到刮齒刀中心軸的距離。

　　根據(jù)式(8)和式(9)可以對(duì)主刀刃節(jié)點(diǎn)和工件節(jié)距圓半徑進(jìn)行求解。

　　根據(jù)刮齒加工過(guò)程，若干次切削共同作用完成工件加工齒面。刮齒刀在每次切削進(jìn)程中都會(huì)在 S₁(O₁- x₁ y₁ z₁)下形成一個(gè)空間曲面∑₁，如圖 3 所示。C₁ 表示 t₁ 時(shí)刻的切削刃，基于空間運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，可得刀刃切削面方程：

　　式中：r_x——切削面上某一點(diǎn)在 S₁ 下的矢量;

　　? ? ? ? ? ?T——S₂ 到 S₁ 的總變換矩陣。

　　為方便描述，令：

　　如圖 4 所示，根據(jù)刮齒坐標(biāo)系可以對(duì)總變換矩陣 T 進(jìn)行如下描述：

　　通過(guò)式(8)和式(9)可對(duì)刮齒刀主刀刃對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)和工件節(jié)距圓半徑進(jìn)行描述。同樣，通過(guò)式(10)和式(11)描述的坐標(biāo)變換及 S₁ 坐標(biāo)系上投影點(diǎn)與 x₁ 軸之間的夾角關(guān)系，可以對(duì)理論刮齒面的初始位置進(jìn)行描述：

　　式中：σ_k——S₁ 坐標(biāo)系上投影點(diǎn)與 x₁ 之間的夾角;

　　? ? ? ? ? ?θ_k——節(jié)距圓處螺旋面轉(zhuǎn)角。

　　根據(jù)刀齒包絡(luò)理論中理論刮齒面初始位置最小原則描述初始區(qū)間長(zhǎng)度 L_DK：

　　式中：θ_a，θ_f——工件齒頂處與齒根處的螺旋面轉(zhuǎn)角。

　　由此可以推導(dǎo)兩個(gè)相鄰理論刮齒面的初始位置：

　　為提高計(jì)算效率，擬采用離散網(wǎng)格+跟蹤法對(duì)工件任一點(diǎn)與理論刮齒面之間的距離 l_c 進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)求解出的初始點(diǎn)找出 l_c。如圖 5 所示，假設(shè)任一點(diǎn)為 Q，對(duì)應(yīng)理論刮齒面上的點(diǎn)為 p，點(diǎn) p 在進(jìn)行加工之前初始位置為 p₀，Q 到 p 和 p0 的方向矢量定義為 U 和 S。由式(7)得到點(diǎn) p₀ 在 S 和 U 兩個(gè)方向矢量上的偏導(dǎo)數(shù) r_Lρ 和 r_Lξ。對(duì)矢量 S分別在U，r_Lρ 和 r_Lξ 三個(gè)方向上進(jìn)行分解，可以描述為：

　　式中：d，A_L，B_L——矢量 S 在 U，r_Lρ，r_Lξ 三個(gè)方向上的投影系數(shù)。

　　將 S 分別對(duì) r_Lρ，r_Lξ 進(jìn)行點(diǎn)乘求解，可以得到：

　　對(duì)式(16)進(jìn)行求解，得：

　　將式(17)和式(18)作為依據(jù)，可以得到采用跟蹤求解理論刮齒面時(shí)需要的參數(shù)迭代量：

　　根據(jù)式(17)和式(19)，采用跟蹤求解法求解 l_c，令 n 表示迭代次數(shù)，可以得到：

　　三、參數(shù)優(yōu)化及正交試驗(yàn)

　　如文中描述，帶有增量的刮齒進(jìn)給運(yùn)動(dòng)對(duì)工件邊緣的實(shí)際刮齒與理論刮齒之間存在誤差。引起齒側(cè)和齒根偏差的進(jìn)給深度與不同的刀具參數(shù)、加工參數(shù)有關(guān)，例如齒輪和刀具的齒比及軸向進(jìn)給速度，如表 1 所示。利用提出的數(shù)學(xué)模型對(duì)加工精度進(jìn)行精確評(píng)估和計(jì)算。

　　齒比與加工導(dǎo)程偏差

　　為了對(duì)齒輪齒數(shù)有關(guān)的齒廓偏差進(jìn)行研究，將工件齒數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)，并將齒輪和刀具的齒比納入討論范圍。與齒數(shù)和齒比相關(guān)的導(dǎo)程偏差如表 2 和圖 6 所示，假設(shè)工件齒數(shù)為 z_g，當(dāng)刮齒刀齒數(shù)為工件齒數(shù)的 2/3 時(shí)，當(dāng)工件齒數(shù)為奇數(shù)時(shí)，刮齒刀每?jī)蓚€(gè)齒輪旋轉(zhuǎn) 3s 就會(huì)切割出相同的間隙。而當(dāng)工件齒數(shù)為偶數(shù)時(shí)，假設(shè)工件齒數(shù)為 z_g，采用半齒數(shù)的刮齒刀，這就意味著每個(gè)齒輪旋轉(zhuǎn) 1s 就會(huì)切割出相同的間隙。

?

　　此外，如果刮齒刀齒數(shù)約為工件齒數(shù)的一半，除去齒數(shù)均勻，齒比恰好為 1/2 的情況，導(dǎo)程偏差大于其他情況。當(dāng)工件齒數(shù)為奇數(shù)時(shí)，如圖 6a 所示，刮齒刀齒數(shù) 為 30，31，32，33 時(shí)，導(dǎo)程偏差最大，達(dá)到了 20.2 μm。

　　當(dāng)工件齒數(shù)為偶數(shù)時(shí)，如圖 6b 所示，刮齒刀齒數(shù)為 31 和 33 時(shí)，導(dǎo)程偏差達(dá)到了 20.2 μm。由于工件和刮齒刀的齒比決定了齒側(cè)的導(dǎo)程偏差。因此選擇合適的刮齒刀齒數(shù)有利于提高刮齒加工精度。此外，若工件齒側(cè)質(zhì)量要求較高，刮齒刀齒數(shù)應(yīng)該利用最大公約數(shù)來(lái)選擇。但是需要避免使用半齒數(shù)的刮齒刀具，除非工件齒數(shù)為偶數(shù)，齒比恰好為 1/2。

　　軸向進(jìn)給與加工導(dǎo)程偏差

　　適當(dāng)減少每個(gè)齒輪的軸向進(jìn)給可以進(jìn)一步減少進(jìn)給誤差的深度。與刮齒刀軸向進(jìn)給相關(guān)的導(dǎo)程偏差如表 3 和圖 7 所示。隨著軸向進(jìn)給量的增加，導(dǎo)程偏差會(huì)逐步增大。例如當(dāng) f_z=0.5 mm/r，z_g=63，z_t=36 時(shí)，工件齒輪導(dǎo)程偏差為 0.7 μm。然而當(dāng) f_z=0.5 mm/r，z_g=64，z_t=32 時(shí)，工件齒輪導(dǎo)程偏差為 0.7 μm。因此，齒側(cè)進(jìn)給量偏差與齒比有關(guān)。對(duì)于具有最大公約數(shù)的工件和刮齒刀的齒數(shù)，為了提高加工效率，需要提高軸向進(jìn)給量。如果工件齒數(shù)與刮齒刀齒數(shù)不匹配，則必須選擇軸向進(jìn)給，直至導(dǎo)程偏差滿足加工要求。然而，如果軸向進(jìn)給量過(guò)小，導(dǎo)致刮齒刀運(yùn)動(dòng)與切削方向相反，則會(huì)增加刮齒循環(huán)時(shí)間。

?

　　四、結(jié)論

　　通過(guò)對(duì)刮齒刀工作原理的分析建立了關(guān)于刮齒刀理論刮齒模型及實(shí)際刮齒與理論刮齒之間的偏差模型，對(duì)刮齒相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了研究，得出以下結(jié)論：

　　(1)隨著軸角和刀具直徑增大，頂前角減小。通過(guò)設(shè)置較大的軸角，選擇較大的刮齒刀直徑，可以獲得更好的切削角。

　　(2)工件齒數(shù)和刮齒刀齒數(shù)的齒比決定了齒側(cè)的導(dǎo)程偏差。對(duì)于邊緣質(zhì)量要求較高的齒輪，刮齒刀齒數(shù)應(yīng)該根據(jù)最大公約數(shù)來(lái)確定。并且除了齒數(shù)均勻，齒比恰好為 1/2 時(shí)，需要避免使用半齒數(shù)的刮齒刀。

　　(3)減少刮齒刀軸向進(jìn)給可以進(jìn)一步較少進(jìn)給誤差。對(duì)于具有最大公約數(shù)的工件和刮齒刀的齒數(shù)，為了提高加工效率，需要提高軸向進(jìn)給量。如果工件齒數(shù)與刮齒刀齒數(shù)不匹配，則必須選擇軸向進(jìn)給，直至導(dǎo)程偏差滿足加工要求。

　　參考文獻(xiàn)略.