針對(duì)齒根裂紋擴(kuò)展與時(shí)變嚙合剛度的理論值與實(shí)際值偏差較大的問(wèn)題，該文基于能量法對(duì)傳統(tǒng)的時(shí)變嚙合剛度模型進(jìn)行優(yōu)化，以獲得理論時(shí)變嚙合剛度的變化規(guī)律與實(shí)際情況接近。在傳統(tǒng)理論時(shí)變嚙合剛度理論模型的基礎(chǔ)上，考慮輪齒的 Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、輪齒的彎曲剛度和輪齒的剪切剛度，以及輪體的柔性變形量等因素，對(duì)傳統(tǒng)的理論剛度模型進(jìn)行改進(jìn)。再采用能量法計(jì)算，驗(yàn)證改進(jìn)的理論模型對(duì)健康輪齒、齒根裂紋擴(kuò)展程度和裂紋擴(kuò)展角度這 3 種不同狀態(tài)下，獲得輪齒時(shí)變嚙合剛度的變化規(guī)律。研究結(jié)果表明，經(jīng)改進(jìn)后的理論剛度模型，計(jì)算得出時(shí)變嚙合剛度變化規(guī)律的一致性較好。并且，得出時(shí)變嚙合剛度值的大小，隨著齒根裂紋故障嚴(yán)重程度的增大而減小，隨著齒根裂紋擴(kuò)展角度增大而增大。

　　齒輪作為機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的重要組成單元，傳動(dòng)系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中，齒輪輪齒的健康狀態(tài)直接影響整臺(tái)機(jī)械的工作效率。經(jīng)大量研究與統(tǒng)計(jì)，齒輪在循環(huán)彎曲應(yīng)力和應(yīng)力集中等條件下，齒輪的失效形式主要表現(xiàn)為齒輪的齒面點(diǎn)蝕、輪齒磨損、齒根裂紋和齒面膠合等故障現(xiàn)象。在上述齒輪故障中，輪齒的齒根裂紋占據(jù) 40%的比重，其是齒輪故障的主要表現(xiàn)形式。當(dāng)輪齒故障發(fā)生時(shí)，輕則導(dǎo)致停機(jī)，影響生產(chǎn)效率，重則引起重大經(jīng)濟(jì)損失，甚至是出現(xiàn)人身傷亡等重大事故。

　　當(dāng)齒根裂紋產(chǎn)生后，新裂紋會(huì)進(jìn)一步延伸或擴(kuò)展，將會(huì)導(dǎo)致輪齒斷裂。根據(jù)不同狀態(tài)的齒根裂紋對(duì)齒輪的嚙合剛度帶來(lái)較大影響，使齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)特性和傳動(dòng)效率大為降低。另外，齒根裂紋還會(huì)引起傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，惡化機(jī)械設(shè)備的運(yùn)行環(huán)境，給傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)巨大挑戰(zhàn)，導(dǎo)致機(jī)械設(shè)備的使用壽命降低。最終，大幅度增加了設(shè)備的使用和維護(hù)成本。

　　針對(duì)輪齒齒根裂紋的研究，國(guó)內(nèi)外有許多專(zhuān)家和學(xué)者在此領(lǐng)域貢獻(xiàn)出大量的研究成果。如文獻(xiàn)以風(fēng)電機(jī)的增速齒輪組為研究對(duì)象，采用了非線性動(dòng)力學(xué)理論和數(shù)值仿真法研究了齒根裂紋對(duì)輪齒時(shí)變嚙合剛度的影響情況。文獻(xiàn)基于勢(shì)能法，計(jì)算含有磨損和裂紋的齒頂修形斜齒輪的嚙合剛度，并將計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了勢(shì)能法研究輪齒嚙合剛度的有效性。文獻(xiàn)采用有限元法研究齒根裂紋擴(kuò)展路徑，并采用勢(shì)能法求解了裂紋路徑與時(shí)變嚙合剛度之間的力學(xué)關(guān)系。文獻(xiàn)研究齒根裂紋尖端到單齒中線的距離與 1/2 齒頂圓齒后的關(guān)系，采用能量法分析嚙合剛度與輪齒裂紋深度之間的變化關(guān)系，得出了裂紋深度大于 50%時(shí)輪齒剛度值減小幅度加劇。并且，采用有限元法仿真驗(yàn)證理論模型的有效性。但是，這些研究成果都沒(méi)有涉及到齒根裂紋擴(kuò)展方向和裂紋深度對(duì)多種輪齒嚙合剛度值的影響情況。

　　因此，本論文在上述研究的基礎(chǔ)上，采用能量法，考慮了輪齒的 Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、彎曲剛度和剪切剛度 4 種剛度形式。同時(shí)，考慮了齒輪本體柔性變形對(duì)理論剛度值的偏差較大，并給出了理論剛度計(jì)算方法的修正形式，能夠得到理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)際剛度數(shù)值進(jìn)一步相接近。

　　一、輪齒嚙合時(shí)變剛度的原理

　　采用輪齒嚙合變形的能量法，研究輪齒時(shí)變嚙合剛度與 4 種主要變形情況的計(jì)算關(guān)系。再利用鍵合圖建模法，建立單、雙齒周期性交替嚙合的剛度模型，并通過(guò)數(shù)值仿真的方式研究輪齒的時(shí)變嚙合剛度與相關(guān)參數(shù)之間的變化規(guī)律。

　　單齒嚙合剛度

　　輪齒嚙合傳動(dòng)時(shí)，儲(chǔ)存在輪齒內(nèi)部的能量主要有 4 種：Hertz 接觸能、徑向壓縮變形能、彎曲勢(shì)能和剪切變形能。根據(jù)能量法的計(jì)算原理，結(jié)合圖 1 所示的單齒嚙合時(shí)輪齒的受力情況，可分別得出輪齒的 Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、輪齒的彎曲剛度和輪齒的剪切剛度的計(jì)算關(guān)系(齒數(shù)小于 41)，如式(1)—(4)所示。當(dāng)齒輪的齒數(shù)大于 41 時(shí)，可將這 4 種剛度公式中的非積分項(xiàng)去掉，并將積分項(xiàng)的積分上限 α2 改為 α4 即可。

　　式中：μ 為泊松比;E 為彈性模量;B 為齒寬;α 為壓力角;

　　采用能量法，考慮輪齒的 Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、彎曲剛度和剪切剛度等 4 種剛度形式。按照這種方法計(jì)算輪齒的嚙合剛度時(shí)，因沒(méi)有考慮齒輪本身的柔性變形，從而導(dǎo)致計(jì)算得出的理論剛度值比齒輪的實(shí)際剛度值偏大。若不解決這個(gè)問(wèn)題，將會(huì)對(duì)后續(xù)輪系動(dòng)態(tài)特性的研究帶來(lái)較大影響。

　　根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)，給出了齒輪本體柔性變形的計(jì)算關(guān)系，如式(5)所示

　　式中：B 為輪齒的齒寬;α_m 為嚙合角;L* 、M* 、P* 、Q* 為多 項(xiàng)式的系數(shù)項(xiàng)，滿足式(6)的函數(shù)關(guān)系

　　式中：X* ={L* ，M* ，P* ，Q* }，且各參數(shù)的含義及取值，詳見(jiàn)文獻(xiàn)。

　　即，齒輪基體的柔性剛度 K_f，由式(7)求得

　　當(dāng)主、從動(dòng)齒輪在單嚙合區(qū)嚙合時(shí)，可根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)剛度串聯(lián)原理計(jì)算，將這對(duì)輪齒嚙合的綜合時(shí)變嚙合剛度 Ksgle 的計(jì)算關(guān)系，如式(8)所示

　　式中：i 為 1、2，分別為主動(dòng)輪、從動(dòng)輪。

　　雙齒嚙合剛度

　　同理，主、從動(dòng)齒輪對(duì)應(yīng)輪齒在雙嚙合區(qū)嚙合時(shí)，可按照并聯(lián)剛度原理計(jì)算，其輪齒嚙合的綜合時(shí)變嚙合剛度 Kttal 的計(jì)算關(guān)系，如式(9)所示

　　式中：i 為 1、2 時(shí)分別為第一對(duì)嚙合的輪齒、第二對(duì)嚙合的輪齒。

　　單、雙齒嚙合時(shí)變剛度

　　根據(jù)式(8)、式(9)，可得出齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的綜合時(shí)變嚙合剛度 K_(t)，可按照式(10)所示的關(guān)系描述

　　式中：輪齒從進(jìn)入嚙合開(kāi)始直至完全退出嚙合時(shí)的周期記作 T;n 為輪齒順序號(hào);則第二對(duì)主、從動(dòng)齒輪的輪齒進(jìn)入嚙合時(shí)時(shí)間為 t₁，t₁=T/ε;以及第三對(duì)主、從動(dòng)齒輪的輪齒進(jìn)入嚙合階段的時(shí)間為 t₂，t₂=1-1/ε;ε 為齒輪的重合度，其值在(1，2)的范圍內(nèi)。

　　二、齒根裂紋的力學(xué)模型

　　齒根裂紋的力學(xué)原理

　　圖 2 是含有齒根裂紋 AB 的單齒模型，假設(shè) A 點(diǎn)是齒根受力的最大值點(diǎn)，也是裂紋開(kāi)始產(chǎn)生的起始點(diǎn)，B 點(diǎn)是裂紋的截止點(diǎn)(尖端奇異點(diǎn))。裂紋 AB 與輪齒中心線的夾角為(裂紋擴(kuò)展的方向角)，假設(shè)該角在裂紋擴(kuò)展時(shí)始終保持為同一常數(shù)。同時(shí)，假設(shè)含有裂紋的輪齒在齒根部位尚未產(chǎn)生撓度變形，該輪齒仍然可簡(jiǎn)化為變截面的懸臂梁。在這種條件下，該輪齒的齒廓曲線仍保持完好。因此，輪齒的赫茲剛度和徑向壓縮剛度均與正常齒輪的剛度一樣。但是，由于齒根裂紋的存在，從而改變了齒根位置處的受力環(huán)境，導(dǎo)致輪齒的彎曲剛度和剪切剛度發(fā)生變化。

　　含有齒根裂紋故障時(shí)，在距離基圓距離為 x 位置處的慣性矩 I_x 和有效截面積 A_x 的計(jì)算關(guān)系，改變?yōu)槭?11)和式(12)所示

　　式中：B 為輪齒沿軸向方向的厚度。

　　齒根裂紋仿真模型的設(shè)置

　　圖 3 是輪齒的齒根裂紋擴(kuò)展示意圖，如裂紋的上邊界為 AG，下邊界為 CG。D 點(diǎn)是裂紋上、下邊界初始點(diǎn) A、C 連線的中點(diǎn)，G 點(diǎn)是裂紋尖端點(diǎn)。連接 DG 并反向延長(zhǎng)與輪齒中線 OO 交于 B 點(diǎn)，即以線段 DG 的長(zhǎng)度近似描述裂紋的大小。ν 是裂紋 DG 與輪齒中線 OO 的夾角，即為裂紋擴(kuò)展的方向角。根據(jù)齒根裂紋在不同尺寸下的長(zhǎng)度 l_x，來(lái)定義裂紋故障擴(kuò)展的程度，其定義方法見(jiàn)表 1。

　　三、齒根裂紋對(duì)嚙合時(shí)變剛度的影響研究

　　裂紋擴(kuò)展程度與嚙合剛度之間變化關(guān)系的研究

　　本節(jié)采用數(shù)值仿真的方法，來(lái)說(shuō)明齒根裂紋擴(kuò)展程度與嚙合剛度之間的波動(dòng)關(guān)系。根據(jù)輪齒嚙合剛度的計(jì)算關(guān)系式與給出的仿真條件，得出了如圖 4 所示的是一對(duì)嚙合傳動(dòng)齒輪時(shí)變剛度的變化曲線，其參數(shù)：齒數(shù) Z₁=16，Z₂=24;模數(shù) m=4.5 mm;齒寬 B=38 mm;彈性模量 E=2.1×105 N/mm² ;泊松比 μ=0.3。

　　從圖 4 中可得，正常健康輪齒的時(shí)變嚙合剛度呈現(xiàn)出恒周期性;當(dāng)單個(gè)輪齒的齒根出現(xiàn)裂紋故障時(shí)，使該輪齒的嚙合剛度明顯降低很多，且在整個(gè)時(shí)變嚙合剛度圖中故障剛度也隨著齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率而呈現(xiàn)出大周期性。另外，時(shí)變嚙合剛度值的大小，隨著齒根裂紋故障嚴(yán)重程度的增大而減小。而且，隨著齒根裂紋擴(kuò)展的嚴(yán)重程度進(jìn)一步增強(qiáng)，時(shí)變嚙合剛度由雙齒嚙合到單齒嚙合和單齒嚙合到雙齒嚙合等過(guò)渡階段的突變現(xiàn)象較大。

　　裂紋擴(kuò)展方向與嚙合剛度之間變化關(guān)系研究

　　本節(jié)采用數(shù)值仿真法，研究齒根裂紋擴(kuò)展方向與嚙合剛度之間的波動(dòng)關(guān)系。根據(jù)直齒圓柱齒輪自身的特性，結(jié)合圖 3 所示的裂紋擴(kuò)展模型，將裂紋擴(kuò)展的方向設(shè)定為 20°、30°、45°和 60° 四種特殊的角度。

　　按照設(shè)置好的仿真條件，通過(guò)仿真計(jì)算后，得出如圖 5 所示的一對(duì)相互嚙合傳動(dòng)的齒輪，反映出不同程度輪齒齒根裂紋擴(kuò)展方向與時(shí)變剛度間的變化曲線，其參數(shù)：齒數(shù) Z₁=16，Z₂=24;模數(shù) m=4.5 mm;齒寬 B=38 mm;彈性模量 E=2.1×105 N/mm² ;泊松比 μ=0.3。

　　由圖 5(a)所示的前期裂紋與時(shí)變嚙合剛度的變化曲線可得：當(dāng)齒根裂紋在前期時(shí)，其含齒根裂紋故障輪齒的剛度值，隨著裂紋擴(kuò)展角度的增大而減小。同時(shí)，單對(duì)輪齒嚙合剛度由健康輪齒時(shí)的非單調(diào)性向單調(diào)遞減方向轉(zhuǎn)變。

　　圖 5(b)所示的中期裂紋的嚙合剛度曲線可得：此時(shí)，含齒根裂紋故障輪齒的剛度值，隨著裂紋擴(kuò)展角度的增大而增大。同時(shí)，單對(duì)輪齒嚙合剛度曲線的單調(diào)性增強(qiáng)。

　　同理，圖 5(c)所示的后期裂紋的嚙合剛度變化曲線中得出，其變化規(guī)律與前期、中期裂紋對(duì)剛度值的影響規(guī)律相同。

　　裂紋擴(kuò)展方向與嚙合剛度變化的局部區(qū)域，含有齒根裂紋輪齒的時(shí)變剛度值隨著裂紋擴(kuò)展程度的增大而降低。當(dāng)齒根裂紋在擴(kuò)展的整個(gè)時(shí)期里，故障輪齒的時(shí)變嚙合剛度值隨著方向角的增大而增大。另外，故障輪齒的時(shí)變嚙合剛度值，隨著裂紋擴(kuò)展程度嚴(yán)重性的增強(qiáng)，方向角度的變化對(duì)時(shí)變嚙合剛度值的影響程度降低。

　　四、結(jié)論

　　本論文基于能量法，針對(duì)齒輪的齒根裂紋擴(kuò)展與時(shí)變嚙合剛度之間變化關(guān)系，經(jīng)研究得出了以下幾點(diǎn)結(jié)論。

　　1)在傳統(tǒng)剛度的理論模型基礎(chǔ)上，采用能量法，考慮了輪齒的 Hertz 接觸剛度、徑向壓縮剛度、彎曲剛度和剪切剛度 4 種剛度形式。同時(shí)，將齒輪的柔性變形也考慮在內(nèi)，建立起優(yōu)化的時(shí)變嚙合剛度的理論模型。

　　2)在輪齒齒根裂紋擴(kuò)展程度與時(shí)變嚙合剛度間的變化關(guān)系的研究中，得出了時(shí)變嚙合剛度值的大小，隨著齒根裂紋故障嚴(yán)重程度的增大而減小。

　　3)在對(duì)裂紋擴(kuò)展方向與嚙合剛度之間變化關(guān)系的研究中，得出了時(shí)變嚙合剛度值隨著裂紋擴(kuò)展角度的增大而增大。

　　4)齒根裂紋的擴(kuò)展程度和擴(kuò)展方向，對(duì)時(shí)變嚙合剛度的變化規(guī)律影響不大。

　　參考文獻(xiàn)略.