提出了一種基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換時(shí)頻分析方法，并將該方法用于行星齒輪箱的故障診斷。該時(shí)頻分析方法通過使用快速路徑優(yōu)化獲得瞬時(shí)頻率變化規(guī)律，在短時(shí)傅里葉變換過程中自適應(yīng)的改變時(shí)窗長(zhǎng)度，從而獲得更恰當(dāng)?shù)臅r(shí)頻分辨率。針對(duì)行星齒輪箱運(yùn)行狀態(tài)不穩(wěn)定的特點(diǎn)，通過使用筆者提出的時(shí)頻分析方法可以有效地提取出行星齒輪箱的轉(zhuǎn)速信息，利用參考轉(zhuǎn)速對(duì)故障信號(hào)角度域重采樣和階次分析，從而實(shí)現(xiàn)變轉(zhuǎn)速情況下的行星齒輪箱故障診斷。仿真分析表明，與傳統(tǒng)短時(shí)傅里葉變換相比基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換得到的時(shí)頻分布能量更加集中;試驗(yàn)分析證明了基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換方法在行星齒輪箱故障診斷中的有效性。

　　行星齒輪變速箱具有傳動(dòng)比大、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)代工業(yè)中得到廣泛應(yīng)用。它們一般在重載和惡劣的工作環(huán)境下工作，其關(guān)鍵部件包括太陽齒輪、行星齒輪及齒圈等，都會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的點(diǎn)蝕和疲勞裂紋。

　　近年來，許多研究者對(duì)行星齒輪變速箱的故障診斷做出了大量貢獻(xiàn)。其中，一批學(xué)者通過動(dòng)力學(xué)建模與分析研究出齒輪故障、制造誤差和負(fù)載對(duì)齒輪箱振動(dòng)響應(yīng)的影響。Lei等提出了統(tǒng)計(jì)指標(biāo)為常數(shù)情況下的行星齒輪箱狀態(tài)監(jiān)測(cè)方法。Bartel- mus等提出了非平穩(wěn)運(yùn)行狀態(tài)下的行星齒輪箱狀態(tài)監(jiān)測(cè)。Feng等總結(jié)出行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的特征頻譜。然而，行星齒輪變速箱一般用于類似風(fēng)力發(fā)電機(jī)組這類運(yùn)行狀態(tài)不穩(wěn)定的情況，此類情況下，行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)特征為非平穩(wěn)特征。在非平穩(wěn)條件下提取行星齒輪變速箱的時(shí)變故障信息較為困難。時(shí)頻分析方法因?yàn)槟苡行У亟沂緯r(shí)變特征，而常被用于提取非平穩(wěn)信號(hào)的故障信息。時(shí)頻分析提供了一種可用并且強(qiáng)大的方法用于提取包含重要物理參數(shù)的非穩(wěn)態(tài)信號(hào)的瞬時(shí)頻率特征。關(guān)于瞬時(shí)頻率估計(jì)的方法，已經(jīng)有了大量的研究，其中基于時(shí)頻分布的瞬時(shí)頻率估計(jì)方法在處理嚴(yán)重噪聲信號(hào)方面具有出色的特性和穩(wěn)定性，因此近幾年獲得了大量的關(guān)注。

　　為了對(duì)瞬時(shí)頻率的特征做精確的估計(jì)，能否獲得高的時(shí)頻分辨率被認(rèn)為是衡量時(shí)域分析方法的關(guān)鍵。有3種傳統(tǒng)的時(shí)頻分析方法，即短時(shí)傅里葉變換、連續(xù)小波變換和魏格納分布。短時(shí)傅里葉變換和連續(xù)小波變換應(yīng)用于線性時(shí)頻分析領(lǐng)域，這兩種方法通過內(nèi)積來處理信號(hào)，并且可以定位時(shí)間和頻率。然而，根據(jù)海森伯格不確定原理，這兩種方法都不能同時(shí)獲得任意高的時(shí)頻分辨率。因此可以認(rèn)為，這些方法在保持良好時(shí)間分辨率時(shí)僅能保證較低的頻率分辨率，反之亦然。筆者提出的基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換(adaptiveshort timefouriertransform，簡(jiǎn)稱 ASTFT)方法，希望通過快速路徑優(yōu)化方法獲得瞬時(shí)頻率變化規(guī)律來改變時(shí)窗長(zhǎng)度，從而獲得更恰當(dāng)?shù)臅r(shí)頻分辨率。在此基礎(chǔ)上，再次通過使用快速路徑優(yōu)化方法來提高瞬時(shí)頻率估計(jì)的準(zhǔn)確性。

　　一、基本原理

　　ASTFT方法：傳統(tǒng)短時(shí)傅里葉變換的時(shí)頻窗時(shí)寬是固定不變的，但大多數(shù)工程信號(hào)的瞬時(shí)頻率變化規(guī)律并不恒定，使用時(shí)窗固定的短時(shí)傅里葉變換處理此類信號(hào)效果必然不好。

　　自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換的時(shí)窗長(zhǎng)度隨瞬時(shí)頻率的斜率(即瞬時(shí)頻率的一階導(dǎo)數(shù))變化而改變，在瞬時(shí)頻率較大時(shí)使用短時(shí)窗的時(shí)頻核函數(shù)，以取得較高的時(shí)間分辨率;在瞬時(shí)頻率的斜率較小時(shí)使用長(zhǎng)時(shí)窗的視頻核函數(shù)，以取得較高的頻率分辨率。

　　對(duì)于一個(gè)純頻率調(diào)制信號(hào)，例如：s(t)=e^if(t) ，Co- hen給出的最優(yōu)時(shí)窗長(zhǎng)度和瞬時(shí)頻率斜率的關(guān)系如下

　　其中：f′(t)為瞬時(shí)頻率的一階導(dǎo)數(shù)。

　　當(dāng)對(duì)信號(hào)s(t)采用變窗高斯核函數(shù)的短時(shí)傅里葉表達(dá)式時(shí)，時(shí)窗長(zhǎng)度 T_t 和時(shí)變的標(biāo)準(zhǔn)差σ(t)之間的關(guān)系為

　　結(jié)合式(1)和式(2)可以推出

　　因此，當(dāng)時(shí)頻核函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)σ(t)按照式(3)取值時(shí)，變窗高斯核函數(shù)的短時(shí)傅里葉變換將會(huì)得到最優(yōu)分辨率。舉例說明時(shí)頻分辨率與瞬時(shí)頻率變化關(guān)系如圖1所示。圖1中：紅線為頻率隨時(shí)間變化的時(shí)頻脊線;橫坐標(biāo)為時(shí)間t;縱坐標(biāo)為頻率 f;圖中矩形為時(shí)頻塊。從圖中可以看出時(shí)頻塊的形狀隨瞬時(shí)頻率斜率變化過程，當(dāng)瞬時(shí)頻率的斜率變大時(shí)，時(shí)頻塊的高度δ_f 變大，寬度δ_t 變小，時(shí)間分辨率變高而頻率分辨率變低。

　　基于快速路徑優(yōu)化的脊線提取： 參考文獻(xiàn)給出了脊線的定義。如 圖 2 所示，使用短時(shí)傅里葉變換分析了一個(gè)二次線性調(diào)頻信號(hào)，左側(cè)為信號(hào)時(shí)域波形，右側(cè)為信號(hào)時(shí)頻分布圖，圖中紅色部分是時(shí)頻矩陣的極大值序列，其包含了大部分的振動(dòng)能量，通常被認(rèn)為是時(shí)頻分布的脊線。信號(hào)由式(4)掃頻得到

　　其中：瞬時(shí)頻率為f(t)=10+300t²。

　　文獻(xiàn)中給出了一些脊線提取的方法，然而大多數(shù)方法無法準(zhǔn)確恢復(fù)能和信號(hào)真實(shí)瞬時(shí)頻率相匹配的脊線。例如，基于瞬時(shí)頻率估計(jì)的多項(xiàng)式線性調(diào)頻小波變換方法在處理嚴(yán)重噪聲信號(hào)時(shí)效果并不好。最明顯的原因是它只考慮時(shí)頻分布中每一離散點(diǎn)的最大幅值。所以，筆者采用了一種包含快速路徑優(yōu)化(afastpathoptimization，簡(jiǎn)稱 FPO)的瞬時(shí)頻率提取方案。該脊線提取方案的具體步驟與原理如下：

　　1)使用時(shí)頻變換方法計(jì)算信號(hào)的時(shí)頻分布矩陣，得到每一時(shí)刻的幅值極大值 E_n(t)，及其對(duì)應(yīng)的頻率 P_n(t)

　　2)通過使用P_n(t)的相鄰節(jié)點(diǎn) P_n(t)+Δf 和 P_n(t)-Δf 的二次插值對(duì)P_n(t)進(jìn)行修正。優(yōu)化方案如下

　　其中：Δf 為時(shí)頻矩陣的頻率分辨率;P_n由式(5)計(jì)算得出。

　　3)通過對(duì)相鄰時(shí)刻極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率的差值進(jìn)行懲罰，構(gòu)造極大值點(diǎn)P_n(t_m)的權(quán)重函數(shù)

　　其中：w 為保證P_n(t_m)與 P_k(t_m-1)之間連續(xù)性的懲罰因子

　　其中：f_s 為采樣頻率;σ為高斯窗函數(shù)的參數(shù)。

　　因此，使用式(8)的權(quán)重函數(shù)構(gòu)造路徑優(yōu)化函數(shù)如下

　　4)通過對(duì)上述構(gòu)造的路徑優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行求解，得出t1～tm 時(shí)刻的最優(yōu)組合{P(t₁)，P(t₂)，…， P(t_M )｝，即為所提脊線。

　　相對(duì)于一些瞬時(shí)頻率估計(jì)方法，此方案有3個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①使用二次插值定位幅值極大值的頻率更加的精確;②用來提取脊線的路徑優(yōu)化函數(shù)不僅考慮到脊線當(dāng)前點(diǎn)的幅值大小，還考慮到脊線的連續(xù)性;③快速路徑優(yōu)化的脊線提取方法可以有效地避開隨機(jī)噪點(diǎn)對(duì)所提脊線的干擾。

　　基于快速路徑優(yōu)化脊線的 ASTFT：自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換能夠根據(jù)瞬時(shí)頻率的斜率自動(dòng)調(diào)整時(shí)窗寬度，從而在瞬時(shí)頻率斜率小的時(shí) 候保證較高的的頻率分辨率，在瞬時(shí)頻率斜率大的時(shí)候保證較高的時(shí)間分辨率。然而，在對(duì)原始信號(hào)做 ASTFT 之前，要先進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)，以瞬時(shí)頻率的斜率作為變化時(shí)窗的參考。本研究提出了使用時(shí)頻分布的脊線來計(jì)算瞬時(shí)頻率斜率，以此計(jì)算自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換時(shí)所使用的變化時(shí)窗。其具體實(shí)現(xiàn)步驟為：

　　1)對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換得到初步的時(shí)頻分布S(t，f);

　　2)對(duì)S(t，f)進(jìn)行基于快速路徑優(yōu)化的脊線提取得到f(t);

　　3)確定自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換的標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)

　　4)以σ(t)為標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)對(duì)s(t)進(jìn)行自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換得到 ASTFT(t，f)。

　　二、仿真信號(hào)分析

　　仿真信號(hào)構(gòu)造：為驗(yàn)證所提方法在時(shí)頻分析方面的有效性，構(gòu)造仿真信號(hào)s(t)如下

　　對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析前加入信噪比為 -1dB 的高斯白噪聲。采樣頻率為2048Hz，時(shí)域波形如圖3所示，其理論瞬時(shí)頻率f(t)如下

　　仿真信號(hào)分析：通過對(duì)s(t)做固定時(shí)間窗的短時(shí)傅里葉變換，可以看出，在瞬時(shí)頻率斜率較大的時(shí)候(圖4(a)中紅圈部分)，長(zhǎng)時(shí)窗的短時(shí)傅里葉變換(高斯窗函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)σ取0.004，σ越小時(shí)窗長(zhǎng)度越長(zhǎng))效果較差，能量較分散;在瞬時(shí)頻率斜率較小的時(shí)候(圖4(b)中紅圈部分)，短時(shí)窗的短時(shí)傅里葉變換(高斯窗函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)σ取0.04，σ越大時(shí)窗長(zhǎng) 度越短)效果較差，能量不夠集中。

　　同時(shí)對(duì)s(t)做自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換(高斯窗函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)，如式(3)所示，f(t)為文中所提兩種脊線方法得到的脊線)， 結(jié)果如圖5所示，相對(duì)圖4中時(shí)頻分布自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換獲得的時(shí)頻分布能量更加集中。圖 5(a)為基于最大能量峰值(maximumenergypeaks， 簡(jiǎn)稱 MEP)的瞬時(shí)頻率估計(jì)方法做自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換所得時(shí)頻分布，由于隨機(jī)噪聲干擾，瞬時(shí)頻率出現(xiàn)很大的波動(dòng);圖5(b)為筆者提出的基于快速路徑優(yōu)化脊線的自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換所得時(shí)頻分布，由于該方法可以有效降低隨機(jī)噪聲得干擾，得到的時(shí)頻分布較為均勻、集中。為從圖5中提取的瞬時(shí)頻率與理論瞬時(shí)頻率的比較，從圖6可以看出，基于 FPO的瞬時(shí)頻率估計(jì)結(jié)果更接近于理論瞬時(shí)頻率。

　　文中通過計(jì)算范數(shù)來衡量脊線的精確程度

?

　　其中：f_TI為真實(shí)脊線頻率;f_EI為所提取脊線頻率值。

　　經(jīng)計(jì)算可得本算法所得脊線誤差為0.0067，而使用 MEP脊線誤差為0.0361，故本算法所提脊線遠(yuǎn)比 MEP算法脊線準(zhǔn)確。

　　三、行星齒輪箱故障診斷

　　行星齒輪箱故障數(shù)據(jù)：本試驗(yàn)的振動(dòng)數(shù)據(jù)采集自行星齒輪箱故障模擬試驗(yàn)臺(tái)。如圖7所示，試驗(yàn)臺(tái)包括電機(jī)驅(qū)動(dòng)、交流電機(jī)、行星齒輪箱、固定軸齒輪箱和制動(dòng)器。轉(zhuǎn)速傳感器和加速度傳感器分別采集電機(jī)軸轉(zhuǎn)速和行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)，電機(jī)軸轉(zhuǎn)速可由電機(jī)驅(qū)動(dòng)自由調(diào)節(jié)，本試驗(yàn)中電機(jī)為變轉(zhuǎn)速，包括一段升速和一段減速過程。信號(hào)采樣頻率為12800Hz，采集時(shí)長(zhǎng)16s。

　　表1給出了行星齒輪箱的齒輪參數(shù)。由參考文獻(xiàn)提供的星齒輪箱故障階次計(jì)算公式如下

　　其中：O_r，O_s 和 O_p 分別為齒圈、太陽輪、行星輪故障階次;Z_r，Z_s 和Z_p 分別為齒圈、太陽輪、行星輪齒數(shù);n_p 為行星輪個(gè)數(shù)。

　　表2為將表1中參數(shù)帶入式(14)～(16)計(jì)算得到的行星齒輪箱內(nèi)各零件故障特征階次表。

　　試驗(yàn)信號(hào)分析：通過對(duì)含有行星輪裂紋故障的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行階次分析，從而驗(yàn)證該方法的有效性。行星齒輪箱故障數(shù)據(jù)的振動(dòng)時(shí)域圖和頻譜圖如圖8所示。圖8(a)為試驗(yàn)中直接采集的振動(dòng)信息時(shí)域圖，圖8(b)為時(shí)域信號(hào)經(jīng)傅里葉變換得到的頻譜圖，在頻譜中出現(xiàn)了很多峰值，由于齒輪轉(zhuǎn)速波動(dòng)，很難將頻譜圖中的峰值與故障特征頻率或者故障特征階次聯(lián)系起來。

　　首先，對(duì)原始故障信號(hào)使用短時(shí)傅里葉變換獲得信號(hào)的時(shí)頻分布，并提取出信號(hào)中電機(jī)轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)頻率，如圖9所示，圖中紅線為使用基于快速路徑優(yōu)化的脊線提取方案獲得的瞬時(shí)頻率。

　　然后，再次對(duì)原始故障信號(hào)使用筆者提出的基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換獲得新的時(shí)頻分布，并提取出信號(hào)中電機(jī)轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)頻率，如圖10所示，圖中紅線為從此時(shí)頻分布中提取的瞬時(shí)頻率。通過對(duì)比，可以看出本方法獲得的時(shí)頻分布(見圖10)優(yōu)于傳統(tǒng)短時(shí)傅里葉變換得到的時(shí)頻分布(見圖9)。將圖9和圖10中提出的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速信息與實(shí)際轉(zhuǎn)速進(jìn)行對(duì)比，如圖11所示，圖中曲線1為使用STFT 得到的轉(zhuǎn)速;曲線2為本方法得到的轉(zhuǎn)速;曲線3為實(shí)際轉(zhuǎn)速?？梢钥闯鐾ㄟ^本方法獲得的轉(zhuǎn)速更加接近于真實(shí)轉(zhuǎn)速，可以作為實(shí)際轉(zhuǎn)速未知情況下行星齒輪箱故障信號(hào)角度域重采樣的參考轉(zhuǎn)速。

　　最后，利用獲得的瞬時(shí)頻率對(duì)故障數(shù)據(jù)重新進(jìn)行角度采樣，即將時(shí)域信號(hào)對(duì)轉(zhuǎn)速進(jìn)行積分從而得到角度域信號(hào)，如圖12所示。然后對(duì)故障數(shù)據(jù)的角度域信號(hào)做階次分析得到振動(dòng)信號(hào)的階次圖，如圖13所示。圖中幅值較大的1階為轉(zhuǎn)頻、2階為2倍轉(zhuǎn)頻。對(duì)應(yīng)表2可以在圖13階次中找到故障階次，故障階次為0.83階，幅 值 為0.012g，故障階次非常明顯，從而驗(yàn)證基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換方法在實(shí)際應(yīng)用中的可行性。同時(shí)添 加如下對(duì)比，以通過 MEP 方法獲得的參考轉(zhuǎn)速對(duì)信號(hào)做階次分析，得到如圖14所示階次圖，從圖中很難判斷出行星齒輪故障階次。

　　四、結(jié)束語

　　基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換方法依據(jù)快速路徑優(yōu)化方法獲得的瞬時(shí)頻率規(guī)律變換時(shí)頻窗長(zhǎng)度，使自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換能夠獲得更加優(yōu)化的時(shí)頻分布，從而在下一次的脊線提取過程中獲得更加準(zhǔn)確的瞬時(shí)頻率估計(jì)結(jié)果。通過對(duì)比仿真信號(hào)的處理結(jié)果，可以清晰地看出在處理瞬時(shí)頻率斜率變化較快的信號(hào)時(shí)，筆者提出的基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換要優(yōu)于傳統(tǒng)的短時(shí)傅里葉變換方法。通過使用此方法處理取自行星齒輪變速箱的非平穩(wěn)信號(hào)，根據(jù)快速路徑優(yōu)化脊線提取方案獲得的齒輪箱瞬時(shí)轉(zhuǎn)速對(duì)原始故障信號(hào)重新進(jìn)行角度采樣，對(duì)角度域故障信號(hào)做階次分析，得到明顯的特征階次。通過對(duì)試驗(yàn)信號(hào)的分析證明了基于快速路徑優(yōu)化的自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換方法在行星齒輪變速箱故障診斷上的有效性。

　　參考文獻(xiàn)略.