成形磨齒時，優(yōu)化五軸(X，Y，Z，C，A)附加運動的高次多項式系數(shù)可以修正齒面誤差，但迭代計算量大，優(yōu)化結(jié)果不穩(wěn)定，很難應(yīng)用于實際加工。為簡化附加運動模型，并為后續(xù)設(shè)計高效高精度的齒面誤差修正策略提供理論依據(jù)，對磨齒五軸運動多項式系數(shù)進(jìn)行了敏感性分析。首先，建立了五軸磨齒系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型;將各軸運動表示為 6 次多項式曲線，并推導(dǎo)出五軸磨削運動時砂輪與工件的動態(tài)接觸條件;其次，根據(jù)砂輪基本信息與動態(tài)接觸條件，得出實際加工包絡(luò)面，進(jìn)而獲得齒面偏差信息，并給出齒面精度評價方法;最后，采用 SOBOL 全局敏感性分析法進(jìn)行了五軸運動多項式各項系數(shù)對齒面誤差影響的敏感性分析。實例中繪制了一階敏感性系數(shù) Si 和總體敏感性系數(shù) STi的柱狀圖，并根據(jù)各系數(shù)對各精度指標(biāo)的影響大小進(jìn)行了排序。結(jié)果表明，對齒面誤差影響的主要系數(shù)為二次及以下項系數(shù)；對于齒形傾斜誤差 fhα 和齒向傾斜誤差 fhβ，各系數(shù)的影響相互獨立，利于修正；修正 fhα 和 fhβ 的關(guān)鍵運動軸分別為 Y、C、X 軸和 Y、C、Z 軸。

　　磨齒是加工高精度硬齒面齒輪最普遍的工藝方式，可以提高齒輪承載能力，降低傳遞噪音。為提高磨齒精度，通常需要對齒面誤差進(jìn)行補償或修正。磨齒齒面校正是一個閉環(huán)過程，從三坐標(biāo)測量機或齒輪測量儀導(dǎo)出齒面測量結(jié)果，計算齒面偏差，并采用最小二乘法計算調(diào)整參數(shù)實現(xiàn)修正。FAN 等提出了一種通過高階運動進(jìn)行準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面修正的方法。而 ARTONI 等提出了一種用非線性最小二乘法，通過使用 Levenberg-Marquardt 方法和信賴域策略來接近所需的修正面。MARCO 等研究了常用的幾種齒面拓?fù)湫拚惴ǖ目煽啃?。SHIH、CHEN 等提出一種齒面修正的通用方法，用線性回歸方法求取修正多項式系數(shù)，可用于弧齒錐齒輪、準(zhǔn)雙曲面齒輪以及圓柱齒輪的精度修正。周超等研究了磨削螺旋錐齒輪中砂輪的位置誤差對齒面誤差產(chǎn)生的影響。方成剛，ZHANG 等研究了圓柱齒輪成形磨齒幾何誤差來源，通過砂輪廓形修形和附加五軸運動來補償磨削中的位姿誤差。

　　蔣進(jìn)科等基于刀具和數(shù)控機床各運動軸參數(shù)誤差敏感性的齒面修正模型，分析各參數(shù)擾動對齒面誤差的影響，通過最小二乘法確定最優(yōu) ease-off 拓?fù)湫扌锡X面的加工參數(shù)。魏冰陽等完善并發(fā)展了 ease-off 差齒面嚙合分析方法，為復(fù)雜齒面承載接觸 LTCA、拓?fù)鋬?yōu)化，提供了更加便利有效的手段。耿龍龍，聶少武等研究了一種基于齒面 ease-off 拓?fù)涞幕↓X錐齒輪齒面偏差等效修正方法。

　　上述齒面誤差修正方法均需復(fù)雜的迭代運算，不便于集成應(yīng)用到數(shù)控系統(tǒng)中，為簡化計算過程，本文針對運動多項式系數(shù)對齒面精度的影響進(jìn)行敏感性分析，找出產(chǎn)生主要影響的多項式系數(shù)，簡化了磨齒五軸運動多項式，為設(shè)計便于工業(yè)應(yīng)用的齒面誤差補償算法提供理論依據(jù)。

　　一、磨齒機磨削系統(tǒng)幾何模型

　　磨齒機結(jié)構(gòu)配置

　　本文研究對象為某公司自主研制的磨齒機床，結(jié)構(gòu)示意圖如圖 1 所示。該機床磨削系統(tǒng)主要有 5 個數(shù)控軸和 1 個主軸。5 個數(shù)控軸為直線軸 X、Y、Z 和旋轉(zhuǎn)軸 A、C，砂輪主軸為 S1。另外砂輪修整系統(tǒng)的數(shù)控軸有直線軸 W 和金剛輪旋轉(zhuǎn)主軸 S2、S3。本文主要研究磨齒過程中砂輪的 5 個自由度，X 軸為砂輪徑向進(jìn)給軸，Y 軸為砂輪切向進(jìn)給軸，Z 軸為齒向沖程軸，A 軸為砂輪擺動角度，C 軸為齒輪旋轉(zhuǎn)軸。工件運動鏈由機床床身、C 軸與工件組成;刀具運動鏈由機床床身、X 軸、Z 軸、A 軸、Y 軸和刀具組成，如圖 2 所示。

　　砂輪回轉(zhuǎn)面模型

　　如圖 3 所示，砂輪回轉(zhuǎn)面上任意點 M 與該點法向矢量在刀具坐標(biāo)系 O_w x_w y_w z_w 中可表示為：

　　式中，R 為 M 點對應(yīng)的回轉(zhuǎn)半徑;γ 為半徑線與砂輪軸截面的夾角。

　　磨削系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

　　建立空間坐標(biāo)系刀具坐標(biāo)系 S_w(O_w-x_wy_wz_w )和工件坐標(biāo)系 S_p (O_p-x_py_pz_p) 如圖 4 所示。刀具坐標(biāo)系 S_w(O_w-x_wy_wz_w )與砂輪固連，z_w 軸和 z_p 軸分別和砂輪軸線和工件回轉(zhuǎn)軸線重合，兩軸線之間的夾角為安裝角∑;刀具坐標(biāo)系的 x_w 軸與工件坐標(biāo)系的 x_p 軸線平行。

　　建立坐標(biāo)系如圖 5 所示，坐標(biāo)系 S₁ (O₁ -x₁ y₁ z₁ )為空間固定坐標(biāo)系，工件坐標(biāo)系 S_p (O_p -x_p y_p z_p)繞軸 O₁z₁ 旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度 φ = 0 時，與坐標(biāo)系 S₁ (O₁ -x₁ y₁ z₁ )重合。

　　坐標(biāo)系 S₁ (O₁ -x₁ y₁ z₁ )沿 O₁ x₁ 方向平移量 a_x 得到坐標(biāo)系 S₂ (O₂ -x₂ y₂ z₂ )，沿 O₁z₁ 方向平移量 a_z 后得到坐標(biāo)系 S₃ (O₃ -x₃ y₃ z₃ )。坐標(biāo)系 S₃ (O₃ -x₃ y₃ z₃ ) 繞 O₃ z₃ 軸線旋轉(zhuǎn)安裝角∑后得 S₄ (O₄ -x₄ y₄ z₄ )，最后，平移 a_y 后得到刀具坐標(biāo)系 S_w(O_w -x_wy_wz_w)。刀具坐標(biāo)系 S_w(O_w -x_wy_wz_w)與工件坐標(biāo)系 S_p (O_p -x_p y_p z_p)的轉(zhuǎn)換矩陣為：

　　式中，

　　因此，式(3)可以具體表示，并獲得其逆矩陣如式 (4)所示。

　　五軸磨削運動接觸分析

　　本文磨齒五軸運動( a_x、a_y、a_z、∑、φ) 表示為以 t 為參變量的六次多項式：

　　根據(jù)空間嚙合原理，一對共軛曲面之間無論接觸形式是點接觸還是線接觸，在各接觸點必須滿足嚙合方程：

　　式中，v⁽¹²⁾為接觸點處兩曲面的相對運動速度;n 為該點處曲面的法向矢量。得到砂輪和齒面的動態(tài)接觸方程為：

　　式中，

?

　　二、齒面誤差評價

　　齒輪的齒形精度和齒向精度是影響齒輪接觸精度、傳動精度的重要指標(biāo)。在 ISO 1328-1:2013 標(biāo)準(zhǔn)中，評價齒廓偏差的指標(biāo)有 3 個，分別是齒廓形狀偏差 ffα、 齒廓傾斜偏差 fhα 和齒廓總偏差 Fα。齒廓總偏差 Fα 是齒廓傾斜偏差 fhα 和齒廓形狀偏差 ffα 的綜合體現(xiàn)。齒向評價指標(biāo)有齒向形狀偏差 ffβ、齒向傾斜偏差 fhβ 和齒向總偏差 Fβ。齒形齒向評價指標(biāo)分別如圖 6 和圖 7 所示。其中，中間虛直線由評價范圍內(nèi)誤差曲線的最小二乘擬合而成，然后將該虛線左右平移最小的距離將評價范圍內(nèi)的誤差曲線都包含起來。左右虛線的水平距離為形狀偏差;虛線對應(yīng)的橫坐標(biāo)跨度為傾斜偏差;總偏差為評價范圍內(nèi)的最大誤差與最小誤差的差值。

　　三、磨齒五軸多項式系數(shù)敏感性分析

　　Sobol 全局敏感性分析方法

　　Sobol 敏感性分析方法通過偏方差與總方差的比值來表示單個參數(shù)或多個參數(shù)混合作用對模型的影響程度。設(shè)模型函數(shù)為 f(x)，輸入?yún)?shù) x₁，x₂ ，…，x_k 相互獨立，則有唯一形式遞增維度的分解：

　　它的總方差表示為各階項的方差的和：

　　則單參數(shù)或多混合參數(shù)的敏感度為：

　　總靈敏度系數(shù)為：

　　式中，D~i為除 i 項以外其他參數(shù)的一階和高階方差之和。

　　這些敏感系數(shù)中，最常用的兩個指標(biāo)是一階敏感性系數(shù) Si 和總體敏感性系數(shù) STi。一階敏感性系數(shù)反映的是單個參數(shù)的主要影響，而總體敏感性系數(shù)為該參數(shù)各階敏感性系數(shù)之和。本文采用蒙特卡洛估計方法來獲得這兩個指標(biāo)。首先，在變量定義域內(nèi)利用Sobol 序列進(jìn)行隨機采樣，生成一個采樣矩陣 QN × 2M ，并拆分為兩個 N × M 的采樣矩陣 A 和 B，其中 N 為變量維數(shù)，M 為采樣點數(shù)。令 i = 1，2…,N，代表列數(shù)。用 B 的第 i 列替換 A 的第 i 列生成矩陣 AiB， 將 A、B、AiB 矩陣分別代入誤差影響模型中，可以得出對應(yīng)的響應(yīng)值。矩陣 A、B 和 AiB 對應(yīng)的模型輸出值為 f(A)、f (B)和 f(AiB )。3 個采樣矩陣的每一行分別記為 aj、bj 和 aij，其中 j = 1，2…，M，對應(yīng)的模型輸出值為 f(aj)、f (bj)和 f(aij)。一階敏感性系數(shù) Si 和總體敏感性系數(shù) STi由下列算式近似得出。

　　磨齒五軸運動多項式系數(shù)敏感性分析步驟

　　給定砂輪形狀和磨齒五軸運動矩陣就可以求出實際磨削包絡(luò)齒面，從而得到沿端面法線方向與理論齒面偏差。從齒面偏差中提取齒形齒向誤差曲線，根據(jù)評價指標(biāo)得出評價結(jié)果。

　　采用 Sobol 法進(jìn)行五軸運動多項式系數(shù)的敏感性分析過程如圖 8 所示。

　　四、實例分析

　　本文選取實驗齒輪，參數(shù)如表 1 所示。

?

　　砂輪截面為理論廓形，直徑為 400 mm。為便于分析，令旋轉(zhuǎn)軸與直線軸在空間距離影響上保持一致，各軸多項式系數(shù)項取值范圍如表 2 所示。

　　采用 Sobol 法按上述流程進(jìn)行五軸運動多項式系數(shù)的敏感性分析，圖 9 ~ 圖 14 為所得結(jié)果柱狀圖。圖中橫軸坐標(biāo)分別對應(yīng)各軸多項式從高階到低階系數(shù)，1 ~ 7對應(yīng) a_x6 、a_x5 、…a_x0 ，8 ~ 14 對應(yīng) a_y6 、a_y5 、…a_y0 ，15 ~ 21 對應(yīng) a_z6 、a_z5 、…a_z0 ，22 ~ 28 對應(yīng)∑₆ 、∑₅ 、…∑₀ ，29 ~ 35 對應(yīng) φ₆ 、φ₅ 、…φ₀。

　　可以看出，各軸運動多項式系數(shù)對齒輪各精度指標(biāo)的主要影響項與排序如表 3 所示。　　

　　可見，各軸運動多項式系數(shù)中對齒面精度有影響的主要為二次以下項的系數(shù)。因此，根據(jù)分析結(jié)果可以保留主要多項式系數(shù)，重新構(gòu)建磨齒五軸補償運動表達(dá)式為：

　　由圖 12 ~ 圖 14 可以看出，A 軸運動對齒向各精度幾乎不產(chǎn)生影響。從圖 11 ~ 圖 14 可以看出，各軸運動多項式系數(shù)對 fhα 和 fhβ 的影響，一階敏感性系數(shù) S_i 和總體敏感性系數(shù) S_Ti偏差很小。S_i 和 S_Ti偏差很小，說明各系數(shù)之間比較獨立，耦合作用很小。因此，考察各系數(shù)對 fhα 和 fhβ 的影響可以分別分析各系數(shù)的影響而不用考慮系數(shù)相互之間的耦合作用。由表 3 可見，修正 fhα 需重點優(yōu)化 Y、C 和 X 軸附加運動，修正 fhβ 需重點優(yōu)化 Y、C 和 Z 軸附加運動。后續(xù)運動修正方法可以依據(jù) fhα 和 fhβ 指標(biāo)，獲得各軸運動最佳系數(shù)組合。

　　五、結(jié)束語

　　本文建立了磨削系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，將磨削運動表示為 6 次多項式，并進(jìn)行磨齒動態(tài)接觸分析。根據(jù)齒面評價標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行齒面精度評價，利用 SOBOL 敏感性分析方法對各軸運動多項式系數(shù)中對齒面各項精度的影響進(jìn)行敏感性分析，根據(jù)各系數(shù)對各指標(biāo)影響程度給出了排序。

　　通過實例分析發(fā)現(xiàn)，對齒面誤差影響的主要因素為二次及以下的運動多項式系數(shù);不同軸的多項式系數(shù)對各精度指標(biāo)的影響差異顯著，對于 fhα 和 fhβ，各次系數(shù)之間的影響相互獨立;修正 fhα 和 fhβ 的關(guān)鍵運動軸分別為 Y、C、X 軸和 Y、C、Z 軸。

　　本文簡化了五軸附加運動多項式模型，減小了齒面修正計算量，有利于提高計算結(jié)果的穩(wěn)定性;找出了五軸附加運動可優(yōu)化的關(guān)鍵指標(biāo)，以及關(guān)鍵指標(biāo)需優(yōu)化的關(guān)鍵軸，為后續(xù)設(shè)計高精高效的運動修正策略打下了基礎(chǔ)。

　　參考文獻(xiàn)略.