圓柱齒輪在磨齒加工過(guò)程中，磨齒砂輪的齒形控制不正確容易出現(xiàn)漸開(kāi)線齒廓起臺(tái)和多磨齒頂或齒根現(xiàn)象。通過(guò)對(duì)圓柱齒輪漸開(kāi)線的滾齒和磨齒齒形形成原理進(jìn)行分析，給出了修整砂輪齒形關(guān)鍵尺寸的數(shù)學(xué)方程計(jì)算公式。

　　1 引 言

　　隨著各種機(jī)械精度和功率的不斷提高，對(duì)淬火圓柱齒輪精度要求也越來(lái)越高，適合加工高精度淬火圓柱齒輪的磨齒工藝迅速發(fā)展起來(lái)，其中蝸桿砂輪展成磨齒由于其效率高、適合批量加工被大量使用。但是在實(shí)際磨齒加工過(guò)程中，由于圓柱齒輪的齒頂或齒根部被蝸桿砂輪在磨削時(shí)多切或少切起臺(tái)(見(jiàn)圖 1)，造成齒輪報(bào)廢的現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生。為了在磨齒時(shí)完全消除此類現(xiàn)象，必須合理控制磨齒砂輪的齒形參數(shù)。本文根據(jù)磨前滾刀設(shè)計(jì)理論及磨齒的漸開(kāi)線形成原理，給出了合理的磨齒蝸桿砂輪漸開(kāi)線齒形計(jì)算公式。

　　2 磨齒蝸桿砂輪的齒形及計(jì)算

　　2.1 蝸桿砂輪的齒形構(gòu)成

　　磨齒蝸桿砂輪加工圓柱齒輪的原理同滾齒加工相似，同為漸開(kāi)線的展成加工，它的齒形(見(jiàn)圖 2)由砂輪節(jié)距 p、節(jié)圓齒厚 Sn、節(jié)圓壓力角 α、齒頂高 ha 和齒根高 hf 構(gòu)成。在圓柱齒輪磨齒時(shí)，磨齒蝸桿砂輪地修整一般有兩種方式：一種是分體式修整法，即用單片金剛滾輪修整磨齒蝸桿砂輪齒形壓力角 α、齒厚 Sn 和齒根高 hf ，用單獨(dú)的金剛筆修整砂輪的齒頂，控制砂輪的齒頂高 ha(或齒全高 H)，這種修整方式在國(guó)內(nèi)磨齒機(jī)上比較常用;另一種整體式修整法，即把金剛滾輪和金剛筆裝配成為一體，一次完成砂輪齒形的壓力角 α、齒厚 Sn、齒頂高 ha、齒根高 hf 修形，這種方式目前在國(guó)外機(jī)床上比較常用。這兩種方式修整砂輪的節(jié)距 p 均由磨齒機(jī)床的掛輪或軟件設(shè)置，由機(jī)床本身傳動(dòng)精度保證。在加工過(guò)程中合理控制這 5 個(gè)參數(shù)便能正確地控制蝸桿砂輪的齒形。

　　2.2 砂輪齒形各參數(shù)的計(jì)算

　　節(jié)距：p=π×mn

　　節(jié)圓齒厚：

　　壓力角 α：與節(jié)圓壓力角相同 α_n

　　砂輪的齒根高：hf=Ha+c*×mn

　　H_a 為齒輪齒頂高；c* 為徑向間隙系數(shù)(一般取 0.25 ~ 0.35mm)；m_n 為齒輪模數(shù);ζ 為齒輪變位系數(shù)；α_n 為齒輪分圓壓力角。

　　砂輪的齒頂高：

　　齒輪產(chǎn)品圖一般對(duì)齒形最低控制點(diǎn)為漸開(kāi)線有效起始點(diǎn)(SAP)或漸開(kāi)線有效檢查起始點(diǎn)(SIC)，統(tǒng)稱漸開(kāi)線有效點(diǎn)見(jiàn)圖 3(部分圖紙只給出 SAP 點(diǎn))。而滾齒滾刀設(shè)計(jì)時(shí)考慮到磨齒留余量和保產(chǎn)品圖漸開(kāi)線有效點(diǎn)，經(jīng)常會(huì)對(duì)漸開(kāi)線有效起始點(diǎn)增加超越量(超越點(diǎn))。這樣磨齒蝸桿砂輪的刀尖軌跡比漸開(kāi)線有效點(diǎn)(SIC 或 SAP)高的話，就會(huì)形成臺(tái)階，造成最終產(chǎn)品漸開(kāi)線長(zhǎng)度不夠，磨齒蝸桿砂輪的刀尖的軌跡在為漸開(kāi)線超越點(diǎn)以下時(shí)就容易磨削掉部分齒根過(guò)渡圓弧或磨傷齒根圓。只要磨齒蝸桿砂輪刀尖高度控制到漸開(kāi)線有效點(diǎn)(SIC 或 SAP)和漸開(kāi)線超越點(diǎn)之間，就不會(huì)起臺(tái)也不會(huì)磨削齒根。一般漸開(kāi)線有效點(diǎn)(SIC 或 SAP)圖紙已經(jīng)給出，而漸開(kāi)線超越點(diǎn)的計(jì)算有幾種方法：

　　方法 1：用齒輪漸開(kāi)線方程和滾齒刀尖圓角形成的延伸漸開(kāi)線方程聯(lián)合精確求多元超解方程組的交點(diǎn)，該點(diǎn)為漸開(kāi)線的超越點(diǎn)，該方法比較繁瑣，需要用計(jì)算機(jī)作圖法或迭代法求解。

　　漸開(kāi)線坐標(biāo)方程(x，y)為：

　　其中：r_b 為齒輪基圓半徑，mm；ψ 為漸開(kāi)線展開(kāi)角變量，rad；τ 為基圓齒厚半角，rad。

　　隨著漸開(kāi)線的展開(kāi)角 ψ 變化，漸開(kāi)線的坐標(biāo)點(diǎn)也跟隨變化。滾刀圓角展成延伸漸開(kāi)線的坐標(biāo)方程(x₁，y₁ )為：

其中 δ 和 θ 的關(guān)系為：

　　r 為齒輪分度圓半徑，mm；r_p 為滾刀圓角半徑，mm；a₁ 為滾刀節(jié)線到齒頂?shù)母叨?，mm；B 為滾刀齒槽中心到齒頂圓角中心的距離，mm；θ 為角度變量。

　　θ 在刀具壓力角 α 和 90°范圍內(nèi)變化，令兩方程的坐標(biāo)相等用迭代法可以求出漸開(kāi)線的超越點(diǎn)半徑 r_c。

　　方法 2：直接用滾刀圖紙理論設(shè)計(jì)的漸開(kāi)線超越點(diǎn) r_c。

　　方法 3：用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算超越點(diǎn) r_c：

　　ρ_c 為漸開(kāi)線超越點(diǎn)的曲率半徑；ρ_sic 為漸開(kāi)線檢查點(diǎn)(SIC 或 SAP)曲率半徑；r₀ 為齒輪基圓半徑。

　　方法 1 比較精確但計(jì)算復(fù)雜，對(duì)于要求十分精密的磨削可用該方法，計(jì)算的 r_c 為最大值。方法 2、方法 3 比較簡(jiǎn)單實(shí)用。求出 r_c 后砂輪齒頂高計(jì)算為

　　r_c 為漸開(kāi)線超越點(diǎn)的半徑；r_min 為漸開(kāi)線檢查點(diǎn)(SIC 或 SAP)半徑；r_a 為砂輪齒頂高；r 分為齒輪分度圓半徑。

　　因此砂輪齒頂高在 h_amin 和 h_amax 之間都能滿足要求。

　　3 計(jì)算示例 

　　產(chǎn)品圖紙要求：齒數(shù) 69，模數(shù) 4.1612mm，壓力角 16°，齒頂圓 ф309.39mm，齒厚10.045mm，漸開(kāi)線有效檢查點(diǎn) SICф309.39 刀具設(shè)計(jì)超越點(diǎn) ф284.978，計(jì)算砂輪尺寸如下：

　　節(jié)距：p=13.073

　　砂輪節(jié)圓齒厚：S_n=3.028

　　砂輪壓力角：α=16°

　　按方法 1 計(jì)算：砂輪齒頂高 r_c=142.47

　　h_amin=0.45，h_amax=1.09

　　按方法 2 計(jì)算：砂輪齒頂高 r_c=142.48

　　h_amin=0.45，h_amax=1.07

　　按方法 3 計(jì)算：砂輪齒頂高 r_c=142.78

　　砂輪的齒頂高為：

　　h_amin=0.45，h_amax=0.77

　　在實(shí)際批量加工中，我們用以上計(jì)算結(jié)果控制砂輪的齒形，效果良好。