為了在國產(chǎn)數(shù)控螺旋錐齒輪磨齒機(jī)上實(shí)現(xiàn)齒形誤差的精密測量，對螺旋錐齒輪小輪齒形誤差的在機(jī)測量技術(shù)進(jìn)行了研究。根據(jù) H350G 型數(shù)控磨齒機(jī)的機(jī)床結(jié)構(gòu)和機(jī)床坐標(biāo)系，利用標(biāo)定塊標(biāo)定了測球球心在機(jī)床坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。建立了小輪齒形誤差的在機(jī)測量方法，通過將理論齒面各離散 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到機(jī)床坐標(biāo)系 XZ 平面，并將小輪繞軸線相對于參考點(diǎn)位置旋轉(zhuǎn)一定角度，同時(shí)控制機(jī)床各 數(shù)控軸的運(yùn)動(dòng)，使測頭沿理論齒面各離散點(diǎn)法矢方向逼近實(shí)際齒面，根據(jù)測頭觸發(fā)時(shí)測球球心的坐 標(biāo)，運(yùn)用曲面擬合技術(shù)和最優(yōu)化算法，計(jì)算了實(shí)際齒面相對于理論齒面的齒形誤差。通過比對在機(jī) 測量和齒輪測量中心的齒形誤差測量結(jié)果，驗(yàn)證了小輪齒形誤差在機(jī)測量方法的正確性。

　　螺旋錐齒輪齒形誤差的精密測量是實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒 輪數(shù)字化閉環(huán)制造的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。螺旋錐齒輪齒形誤差 的測量主要采用齒輪測量中心或 CMM。隨著精密測量技術(shù)在機(jī)械制造領(lǐng)域的發(fā)展，為實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪齒形誤差的在機(jī)測量奠定了技術(shù)基礎(chǔ)。美國 Gl-eason 公司和德國 Klingelnberg 公司生產(chǎn)的數(shù)控螺旋錐齒輪銑齒機(jī)和磨齒機(jī)均可選配在機(jī)測量裝置，可實(shí)現(xiàn)齒形誤差和齒距誤差的精密測量，可提高機(jī)床的加工精度。

　　國內(nèi)外對于齒輪在機(jī)測量技術(shù)的研究，主要都是針對圓柱齒輪齒距精度、齒形和齒向誤差的在機(jī)測量。為了提高在機(jī)測量的精度，文獻(xiàn)提出了測頭預(yù)行程誤差的預(yù)測及其補(bǔ)償方法。

　　對于螺旋錐齒輪齒形誤差的在機(jī)測量，文獻(xiàn)提出了一種基于展成原理的齒形誤差在機(jī)測量方法，并通過仿真方法進(jìn)行了驗(yàn)證。但按照展成原理進(jìn)行齒形誤差的在機(jī)測量，雖然可避免測針測桿與被測齒面的干涉，但是測量中工件的轉(zhuǎn)角較大，影響了測量精度和測量效率。

　　為了在國產(chǎn)數(shù)控螺旋錐齒輪磨齒機(jī)上實(shí)現(xiàn)齒形誤 差的在機(jī)測量，提高國產(chǎn)數(shù)控機(jī)床的技術(shù)水平，論文基于國產(chǎn) H350G 型數(shù)控螺旋錐齒輪磨齒機(jī)，對測頭測球的標(biāo)定方法以及小輪齒形誤差的在機(jī)測量方法進(jìn)行研究，并通過實(shí)際在機(jī)測量試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

　　1 磨齒機(jī)的機(jī)床結(jié)構(gòu)和機(jī)床坐標(biāo)系

　　圖 1 是 H350G 型數(shù)控螺旋錐齒輪磨齒機(jī)的機(jī)床 模型示意圖。圖中 X 軸實(shí)現(xiàn)工件主軸箱的前后移動(dòng)， Y 軸實(shí)現(xiàn)砂輪主軸箱的上下運(yùn)動(dòng)，Z 軸實(shí)現(xiàn)砂輪主軸箱的左右移動(dòng)。A 軸為工件的旋轉(zhuǎn)軸，C 軸為砂輪的旋轉(zhuǎn)軸，B 軸是調(diào)整工件軸線與砂輪軸線交角的旋轉(zhuǎn)軸。在砂輪主軸箱上安裝了在機(jī)測量裝置( 圖中未示出，被砂輪遮擋) 。測量螺旋錐齒輪齒距誤差和齒形誤差時(shí)，測頭從砂輪主軸箱中伸出( 伸出方向與砂輪主軸軸線平行) 。在工件主軸箱上安裝了測頭標(biāo)定塊 ( 圖中未示出，被工件遮擋) ，用于對測頭測針球心的標(biāo)定，即用于確定測針球心在機(jī)床坐標(biāo)系中的空間坐標(biāo)。

　　為了確定各數(shù)控軸的空間位置以及測頭球心和標(biāo)定塊在機(jī)床空間中的位置，建立了機(jī)床坐標(biāo)系。當(dāng) C 軸軸線與 A 軸軸線在同一水平面時(shí)，C 軸軸線與 B 軸軸線的交點(diǎn)作為機(jī)床坐標(biāo)系的原點(diǎn)，圖 1 中給出了 3 個(gè)直線軸 X、Y、Z 的定義及其正負(fù)方向。機(jī)床 X 軸讀 數(shù) X_R 表示 B 軸軸線相對于坐標(biāo)系原點(diǎn)在 X 軸方向的位置; 機(jī)床 Y 軸讀數(shù) Y_R 表示 C 軸軸線相對于坐標(biāo)系原點(diǎn)在 Y 軸方向的位置; 機(jī)床 Z 軸讀數(shù) Z_R 表示 C 軸軸線與砂輪主軸端面的交點(diǎn)相對于坐標(biāo)系原點(diǎn)在 Z 軸方向的位置。

　　2 測頭的標(biāo)定

　　螺旋錐齒輪的輪齒齒面為空間復(fù)雜曲面，測頭測針需要在空間不同方向探測實(shí)際齒面相對于理論齒面的齒形誤差。因此，需要測頭在空間任意方向的預(yù)行程誤差基本一致。為了實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪齒形誤差的精確測量，選用英國 Renishaw 公司生產(chǎn)的 MP250 型應(yīng)變 片式觸發(fā)測頭構(gòu)建在機(jī)測量系統(tǒng)。

　　MP250 型測頭采用固態(tài)應(yīng)變片技術(shù)，適用于在磨床上實(shí)現(xiàn)工件的在機(jī)測量，可對三維復(fù)雜曲面進(jìn)行精密測量。測頭的重復(fù)測量精度為 0. 25 μm，在 XY 平面內(nèi)的預(yù)行程誤差為 ± 0. 25 μm，在 XYZ 三維空間內(nèi)的預(yù)行程誤差為 ± 1 μm，完全滿足螺旋錐齒輪齒形誤差在機(jī)測量的需求。

　　為了實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪小輪齒形誤差的在機(jī)測量， 需要標(biāo)定測頭測球球心在機(jī)床坐標(biāo)系中的空間位置。 在 H350G 數(shù)控螺旋錐齒輪磨齒機(jī)的工件箱上安裝有標(biāo)定塊，該標(biāo)定塊具有 3 個(gè)測量平面 A₁、A₂、A₃。通過將 B 軸旋轉(zhuǎn)到指定位置，可使標(biāo)定塊的 3 個(gè)測量平面 A₁、A₂、A₃ 分別與機(jī)床坐標(biāo)系的 YZ、XZ、XY 平面平行。

　　( 1) 測球球心 X 軸方向坐標(biāo)的標(biāo)定: 控制機(jī)床 B 軸旋轉(zhuǎn)至測頭標(biāo)定位置，伸出探頭，控制 X、Y、Z 軸的 運(yùn)動(dòng)使測頭測球與標(biāo)定塊的 A₁ 平面接觸并將測頭觸發(fā)。設(shè)測頭觸發(fā)時(shí)機(jī)床 X 軸讀數(shù)為 X_S，則測球球心在 機(jī)床坐標(biāo)系中 X 軸方向的坐標(biāo) X_P 為:

　　式中: X₀ 為標(biāo)定塊的 A₁ 平面沿 X 軸方向到 B 軸軸線的距離; r 為測針測球半徑。

　　( 2) 測球球心 Y 軸方向坐標(biāo)的標(biāo)定: 控制機(jī)床 B 軸旋轉(zhuǎn)至測頭標(biāo)定位置，伸出探頭，控制 X、Y、Z 軸的運(yùn)動(dòng)使測頭測球與標(biāo)定塊的 A₂ 平面接觸并將測頭觸發(fā)。設(shè)測頭觸發(fā)時(shí)機(jī)床 Y 軸讀數(shù)為 Y_S，則測球球心在機(jī)床坐標(biāo)系中 Y 軸方向的坐標(biāo) Y_P 為:

　　式中: Y₀ 為標(biāo)定塊的 A₂ 平面與 A 軸軸線沿 Y 軸方向上的距離。

　　( 3) 測球球心 Z 軸方向坐標(biāo)的標(biāo)定: 控制機(jī)床 B 軸旋轉(zhuǎn)至測頭標(biāo)定位置，伸出探頭，控制 X、Y、Z 軸的 運(yùn)動(dòng)使測頭測球與標(biāo)定塊的 A₃ 平面接觸并將測頭觸 發(fā)。設(shè)測頭觸發(fā)時(shí)機(jī)床 Z 軸讀數(shù)為 Z_S，則測球球心在 機(jī)床坐標(biāo)系中 Z 軸方向的坐標(biāo) Z_P 為:

　　式中: Z₀ 為標(biāo)定塊的 A₃ 平面與 B 軸軸線沿 Z 軸方向 上的距離。 按照以上測頭測球標(biāo)定方法以及式(1) 、(2) 、 (3) ，可以確定測頭測球球心在機(jī)床坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 為( X_P，Y_P，Z_P ) 。

　　3 小輪理論齒面離散點(diǎn)的空間坐標(biāo)及法矢

　　基于螺旋錐齒輪小輪的切齒加工方法以及螺旋錐齒輪嚙合原理，可以建立小輪理論齒面的方程 r_w。 由于螺旋錐齒輪的齒面屬于復(fù)雜空間曲面，為了進(jìn)行齒面齒形誤差的精密測量，需要對理論齒面進(jìn)行離散化處理。齒面離散點(diǎn)一般在齒長(齒寬) 方向上取 9 列，在齒高方向上取 5 行，共 45 個(gè)離散點(diǎn)，如圖 2 所示。根據(jù)齒輪幾何參數(shù)以及網(wǎng)格沿齒面四周收縮量的大小，可以計(jì)算出各離散點(diǎn)在以設(shè)計(jì)交叉點(diǎn) O'為原 點(diǎn)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)( x( i，j) ，y( i，j) ) ( i = 1 ～ 9，j = 1 ～ 5) 。

　　設(shè)齒面上任意一離散點(diǎn)到齒輪軸線 p( 圖 2 中的 x 軸) 的距離為 y，沿齒輪軸線到設(shè)計(jì)交叉點(diǎn) O'的距離為 x，由圖 2 可知

　　x、y 是搖臺(tái)角 q 和刀盤相位角 θ 的函數(shù)，給定 q 和 θ，根據(jù)式( 4) 、( 5) 可以得到 x、y。如果給定了離散點(diǎn) 的坐標(biāo)值( x( i，j) ，y( i，j) ) ，則可用二元迭代法計(jì)算與 其對應(yīng)的 q 和 θ，進(jìn)而可求得理論齒面上各離散點(diǎn)在齒輪坐標(biāo)系中的空間坐標(biāo)及法向矢量。

　　4 小輪齒形誤差的在機(jī)測量方法

　　螺旋錐齒輪副的小輪，尤其是有偏置的準(zhǔn)雙曲面 齒輪副的小輪，齒輪的節(jié)錐角較小，螺旋角較大，齒面 沿齒寬方向的曲率變化較大，在工件( 小輪) 不轉(zhuǎn)動(dòng)的 情況下，采用一根水平測針無法完成整個(gè)齒面齒形誤 差的在機(jī)測量。

　　為了在數(shù)控磨齒機(jī)上利用在機(jī)測量系統(tǒng)完成小輪 齒面齒形誤差的測量，同時(shí)考慮到機(jī)床各直線軸行程 的限制，采用通過旋轉(zhuǎn)工件的方法，在機(jī)床坐標(biāo)系的 XZ 平面內(nèi)完成測量，也就是在測量時(shí)將理論齒面上各 離散點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換到 XZ 平面內(nèi)，同時(shí)被測小輪也繞工 件軸線相對于參考點(diǎn)位置旋轉(zhuǎn)相應(yīng)的角度，通過控制 X、Y、Z 這 3 個(gè)直線軸運(yùn)動(dòng)，使測頭沿著理論齒面法矢 方向逼近實(shí)際齒面，測頭觸發(fā)時(shí)記錄測球球心的實(shí)際 空間坐標(biāo)，進(jìn)而可計(jì)算出實(shí)際齒面在各離散點(diǎn)法矢方 向相對于理論齒面的齒形誤差。

　　圖 3 為機(jī)床坐標(biāo)系 S = { O; X，Y，Z} 、齒輪坐標(biāo)系 S_C = { O_C ; X_C，Y_C，Z_C } 、切齒計(jì)算坐標(biāo)系 S_G = { O_C ; X_G， Y_G，Z_G } 三者之間的位置關(guān)系。

　　設(shè)小輪理論齒面上各離散點(diǎn)在齒輪坐標(biāo)系 S_C 中的坐標(biāo)為( X_C ( i，j) ，Y_C ( i，j) ，Z_C ( i，j) ) ，法矢為 ( n_XC ( i，j) ，n_YC ( i，j) ，n_ZC ( i，j) ) ; 設(shè)各離散點(diǎn)在機(jī)床 坐標(biāo)系 S 中的坐標(biāo)為( X( i，j) ，Y( i，j) ，Z( i，j) ) 。為 了實(shí)現(xiàn)小輪齒形誤差的在機(jī)測量，需要將小輪理論齒面在齒輪坐標(biāo)系中的空間坐標(biāo)和法矢轉(zhuǎn)換到機(jī)床坐標(biāo)系中。

　　首先，需要確定將理論齒面各離散點(diǎn)轉(zhuǎn)換到機(jī)床 坐標(biāo)系 XZ 平面的轉(zhuǎn)角 θ( i，j) 以及各離散點(diǎn)轉(zhuǎn)換到 XZ 平面后的空間坐標(biāo)和法矢。由圖 3 可知:

　　設(shè)理論齒面各離散點(diǎn)轉(zhuǎn)換到 XZ 平面后的空間坐 標(biāo)為( X'C ( i，j) ，Y'C ( i，j) ，Z'C ( i，j) ) ，則

　　由圖 3 可知，將齒輪坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)換到 XZ 平面的 各離散點(diǎn)轉(zhuǎn)換到切齒計(jì)算坐標(biāo)系 S_G，設(shè)轉(zhuǎn)換后各離散點(diǎn)的坐標(biāo)為( X_G ( i，j) ，Y_G ( i，j) ，Z_G ( i，j) ) ，則

　　由圖 3 可知，將轉(zhuǎn)換到切齒計(jì)算坐標(biāo)系 S_G 中的各離散點(diǎn)轉(zhuǎn)換到機(jī)床坐標(biāo)系，且設(shè)轉(zhuǎn)換后各離散點(diǎn)的坐標(biāo)為( X( i，j) ，Y( i，j) ，Z( i，j) ) ，則

　　式中: A_R、A_L 為機(jī)床常數(shù); A_D 為工件夾具長度; M_D 為小輪的安裝距; δ_M 為輪坯安裝角。

　　同理，根據(jù)式( 7) 、( 8) 、( 9) 可將理論齒面各離散點(diǎn)在齒輪坐標(biāo)系中的法矢轉(zhuǎn)換到機(jī)床坐標(biāo)系中，設(shè)機(jī)床坐標(biāo)系中理論齒面各離散點(diǎn)的法矢 n( i，j) 表示為 ( n_X ( i，j) ，n_Y ( i，j) ，n_Z ( i，j) ) 。

　　測量小輪實(shí)際齒面相對于理論齒面的齒形誤差時(shí)，小輪位于圖 3 所示位置，B 軸轉(zhuǎn)角讀數(shù)為 δ_M。測量 時(shí)以齒面的中點(diǎn)即圖 2 中的( 5，3) 點(diǎn)為參考點(diǎn)，控制機(jī)床 X、Y、Z 軸的運(yùn)動(dòng)，將測頭測球移動(dòng)到( X'，Y'， Z') ，且 X' = X( 5，3) + r × n_X ( i，j) ，Y' = Y( 5，3) + r × n_Y ( i，j) ，Z' = Z( 5，3) + r × n_Z ( i，j) ?？刂乒ぜS A 的轉(zhuǎn)角，使小輪齒面與測球接觸且將測頭觸發(fā)，記錄下測頭觸發(fā)時(shí) A 軸的轉(zhuǎn)角 A( 5，3) ，完成小輪實(shí)際齒面在機(jī)床中的定位。

　　測量小輪實(shí)際齒面相對于理論齒面各離散點(diǎn)沿法矢方向的齒形誤差時(shí)，首先將小輪繞工件軸線相對于參考點(diǎn)位置角 A( 5，3) 旋轉(zhuǎn) θ( i，j) ，然后控制機(jī)床 X、 Y、Z 軸的運(yùn)動(dòng)，使測頭沿理論齒面法矢方向逼近實(shí)際齒面，設(shè)測頭觸發(fā)時(shí)機(jī)床 X、Y、Z 軸的讀數(shù)為 X_R ( i，j) 、 Y_R ( i，j) 、Z_R ( i，j) ，由式( 1) 、( 2) 、( 3) 可計(jì)算出測頭觸 發(fā)時(shí)測球球心在機(jī)床坐標(biāo)系中的坐標(biāo)( X_P ( i，j) ，Y_P ( i，j) ，Z_P ( i，j) ) 。

　　齒形誤差在機(jī)測量采集到的數(shù)據(jù)是一系列測球球心的坐標(biāo)值，測球球心構(gòu)成的曲面是與實(shí)際齒面相距測球半徑的等距曲面。將測量得到的測球球心坐標(biāo) ( X_P ( i，j) ，Y_P ( i，j) ，Z_P ( i，j) ) 轉(zhuǎn)換到齒輪坐標(biāo)系 S_C = { O_C ; X_C，Y_C，Z_C } ，運(yùn)用 NURBS 曲面擬合技術(shù)，可擬合出測球球心所構(gòu)成的曲面的方程，設(shè)該曲面的方程為 S( u，v) ，法向矢量為 n₁ ( u，v) ，曲面對參數(shù) u 的偏導(dǎo)數(shù) 為 S_u，對參數(shù) v 的偏導(dǎo)數(shù)為 S_v，則:

　　將測球球心構(gòu)成的曲面沿 n₁ ( u，v) 方向補(bǔ)償測球半徑 r 得到實(shí)際齒面的方程，設(shè)實(shí)際齒面上任意點(diǎn)的徑矢為 R_a，則:

　　圖 4 中 A 點(diǎn)為理論齒面上的任意一離散點(diǎn)，n 為 該點(diǎn)的單位法矢。為了計(jì)算實(shí)際齒面相對于理論齒面 沿法矢方向的齒形誤差，需要在實(shí)際齒面找到一點(diǎn) A₁，該點(diǎn)應(yīng)位于 A 點(diǎn)的法矢上。設(shè) R 為 A 點(diǎn)的徑矢， R1 為 A1 點(diǎn)的徑矢。R₁ 是關(guān)于曲面參數(shù) u、v 的函數(shù)， 則以 u、v 作為優(yōu)化變量，以( Ra - R) × n→0 為優(yōu)化目標(biāo)，運(yùn)用最優(yōu)化算法可求出與 A₁ 點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù) u、v，則實(shí)際齒面相對于理論齒面 A 點(diǎn)沿法矢方向的齒形誤差為:

　　對于輪齒的凸、凹齒面，按照上述方法可測量并計(jì)算出實(shí)際齒面相對于理論齒面在各離散點(diǎn)法矢方向的 齒形誤差值。為了消除夾具、齒坯跳動(dòng)誤差對測量結(jié)果的影響，可測量 3 個(gè)或 4 個(gè)輪齒并取算術(shù)平均值作為齒形誤差的測量結(jié)果。為了提高測量精度，可采用二次觸發(fā)的方法，即測頭第一次觸發(fā)后，沿法矢方向后退適當(dāng)距離，然后以較低的進(jìn)給速度再次逼近實(shí)際齒面，直至測頭被觸發(fā)，并以第二次觸發(fā)時(shí)的各軸讀數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。同樣，對于測頭的標(biāo)定，亦可采用二次觸發(fā)的方法。

　　5 試驗(yàn)驗(yàn)證

　　為了驗(yàn)證小輪齒形誤差在機(jī)測量方法的正確性， 在 H350G 型數(shù)控螺旋錐齒輪磨齒機(jī)上加工了一個(gè)小輪，小輪的基本參數(shù)如表 1 所示。小輪磨削完成后，利用在機(jī)測量系統(tǒng)對小輪的齒形誤差進(jìn)行測量。在機(jī)測量得到的齒形誤差測量結(jié)果如圖 5 所示。對于同一個(gè) 小輪，利用相同的理論齒面坐標(biāo)數(shù)據(jù)，在 CNC 3906T 型齒輪測量中心上測量了小輪的齒形誤差，測量結(jié)果如表 2 所示。 通過對比可知，螺旋錐齒輪小輪齒形誤差在機(jī)測量結(jié)果與齒輪測量中心齒形誤差測量結(jié)果的偏差小于 10 μm，驗(yàn)證了小輪齒形誤差在機(jī)測量方法的正確性。 產(chǎn)生偏差的主要原因包括: ①在機(jī)測量時(shí)齒輪的回轉(zhuǎn) 軸線與在齒輪測量中心上測量時(shí)齒輪回轉(zhuǎn)軸線不重合產(chǎn)生的偏差; ②數(shù)控磨齒機(jī)各數(shù)控軸的定位誤差所造 成的測量誤差; ③測量過程中的隨機(jī)誤差。

　　表 1 小輪的基本參數(shù)

　　表 2 齒輪測量中心測量得到的齒形誤差 μm

　　6 結(jié)語

　　基于數(shù)控磨齒機(jī)的機(jī)床結(jié)構(gòu)和機(jī)床坐標(biāo)系，建立 了利用標(biāo)定塊標(biāo)定測頭測針球心的方法。根據(jù)齒輪坐標(biāo)系與機(jī)床坐標(biāo)系之間的位置關(guān)系以及機(jī)床的結(jié)構(gòu)參數(shù)，推導(dǎo)了將理論齒面坐標(biāo)及法矢轉(zhuǎn)換到機(jī)床坐標(biāo)系的公式。建立了螺旋錐齒輪小輪齒形誤差的在機(jī)測量方法以及齒形誤差的計(jì)算方法。通過實(shí)際的磨齒加工 和齒形誤差的在機(jī)測量，驗(yàn)證了小輪齒形誤差在機(jī)測量方法的正確性。