【摘要】為了解決指形銑刀在加工中心上加工弧齒錐齒輪效率低、表面質(zhì)量的問題，提出了中凹盤銑刀加工弧齒錐齒輪的方法。選擇刀底內(nèi)凹的盤形銑刀，主動改變刀具姿態(tài)角的設置，先以切觸點位置確定側(cè)傾角避免過切齒槽底面，再以平底刀加工自由曲面的方法分別確定兩側(cè)齒面的前傾角，保證大的切削帶寬，實現(xiàn)了弧齒錐齒輪的高效加工。通過五軸數(shù)控加工實驗，證明了本加工方法可行性和正確性。

　　【關鍵詞】弧齒錐齒輪，中凹盤銑刀，數(shù)控加工，主動控制刀位，寬行

　　0 引言

　　弧齒錐齒輪因其良好的嚙合傳動性能而廣泛應用于機械傳動系統(tǒng)中。隨著礦山、船舶、電力等行業(yè)主機設備日趨大型化，對大規(guī)格弧齒錐齒輪的需求量越來越大。采用專用盤銑刀加工大規(guī)格弧齒錐齒輪存在加工效率低、制造費用高等問題。隨著自由曲面數(shù)字化加工技術的發(fā)展，開始了采用球頭刀加工大規(guī)格弧齒錐齒輪的研究[1-4]。然而，由于球頭刀的法矢自適應性，無法避免切削帶寬小、加工效率低的難題。平底端銑刀因其切削帶寬大、加工效率高等優(yōu)點而成為近年來自由曲面數(shù)字化加工的研究熱點，并且產(chǎn)生了大量的成果[5-10]。然而，基于平底刀的研究對象一般為平坦、敞口類曲面，而弧齒錐齒輪由于齒面拓撲結(jié)構(gòu)復雜、以齒底曲面相連的兩側(cè)齒面相向?qū)α?、齒槽空間狹小等原因，因而一直沒有平底刀加工弧齒錐齒輪的文獻報道。本文提出的弧齒錐齒輪端銑加工方法，是在掌握齒輪幾何結(jié)構(gòu)的基礎上，采用刀底帶內(nèi)凹的端銑刀，通過改變刀具前傾和側(cè)傾的順序，主動控制刀位避免齒底過切，分離刀具前傾角與側(cè)傾角的功能，以側(cè)傾角的合理設置避免明顯的過切，充分利用前傾角實現(xiàn)較大的切削帶寬，從而實現(xiàn)弧齒錐齒輪的無干涉、高效率加工。

　　1 弧齒錐齒輪齒面幾何

　　1.1齒面網(wǎng)格節(jié)點空間坐標

　　根據(jù)弧齒錐齒輪的加工理論，通過坐標變換和嚙合方程，可以將弧齒錐齒輪的齒面方程表示為r(θ，φ)，其中θ和φ是曲面參數(shù)[11]。然后，將齒面旋轉(zhuǎn)投影到齒輪的軸截面上，并對齒面的旋轉(zhuǎn)投影圖進行網(wǎng)格劃分，齒高方向m行，齒長方向n列，形成m×n個網(wǎng)格節(jié)點。確定齒面旋轉(zhuǎn)投影圖上網(wǎng)格節(jié)點的平面坐標(xpi，ypi) (i=1,2,…, m×n)。再根據(jù)旋轉(zhuǎn)投影原理，建立滿足網(wǎng)格點平面坐標和空間坐標的方程組：

　　式中，x，y和z是齒面網(wǎng)格節(jié)點的徑矢分量。

　　求解此方程組，可以確定網(wǎng)格節(jié)點的曲面參數(shù)值，進而確定齒面網(wǎng)格點的空間坐標。

　　1.2齒面網(wǎng)格點的主曲率和主方向

　　規(guī)定弧齒錐齒輪齒面的法矢由實體指向空間，那么輪齒凸面沿齒長和齒高的彎曲方向都指向法矢負向，凸面的兩個主曲率都小于0，凸面由凸橢圓點構(gòu)成;而凹面，沿齒長向法矢正向彎曲，沿齒高則向法矢負向彎曲，所以凹面點的主曲率必然異號，凹面由雙曲點構(gòu)成。齒面網(wǎng)格點的主曲率和主方向可以利用微分幾何中的曲面理論確定，也可以利用切削過程中產(chǎn)形輪和齒面的線接觸關系確定^[12]。

　　2 中凹盤銑刀端銑齒面的刀位

　　2.1數(shù)控加工模型

　　在刀具和設計曲面切觸點處，建立由設計曲面法向幺矢n(由實體指向外部空間)、進給方向幺矢f以及和n、f都垂直的幺矢t所構(gòu)成的活動標架。在初始刀位處，刀尖與設計曲面在切觸點c接觸，刀軸幺矢u和法矢n平行，刀尖平面和設計曲面的切平面重合。讓刀具繞矢量t旋轉(zhuǎn)，刀尖平面和設計曲面的切平面會形成一個夾角α，這個夾角被定義為刀具的前傾角。然后，讓刀具繞法矢n旋轉(zhuǎn)，形成刀具的側(cè)傾角β，如圖1所示。

　　刀具的前傾和側(cè)傾的坐標轉(zhuǎn)換矩陣如下所示，

　　需要注意的一點，是刀具先前傾后側(cè)傾的順序不能隨意改變，否則會造成刀尖軌跡圓和設計曲面的干涉。

　　2.2刀具選取

　　與小直徑指狀刀具相比，端銑刀的刀尖半徑大，刀齒多，耐用度好，所以更適合多個齒面的重復加工。但是，普通的端銑刀，只能讓刀具前傾后，刀尖軌跡圓高于設計曲面的切平面，刀具包絡面與設計曲面的誘導法曲率增大，難以實現(xiàn)寬行、高效加工。王小椿教授曾提出一種新型的端銑刀，中凹盤銑刀，如圖2所示。

　　中凹盤銑刀是平底刀的重要變形，由于刀底的錐形凹陷，從而增加了刀具的前傾角范圍。刀具前傾之后，不僅可以讓刀尖軌跡圓高于加工曲面的切平面，而且可以讓刀尖軌跡圓低于曲面的切平面，從而減小刀具包絡面與加工曲面的誘導法曲率，并且刀底和已加工曲面無干涉?；谇婕庸だ碚摵妄X面的完整加工，中凹盤銑刀的刀尖半徑范圍如下所示，

　　式中， m為齒輪模數(shù)，f為齒高系數(shù)， c為頂隙系數(shù)， r為刀桿半徑， 為齒面的主曲率。

　　2.3主動控制刀位

　　由于中凹盤銑刀的半徑大于最大齒深，若仍采用讓刀具先前傾后側(cè)傾確定刀位，刀尖在加工齒面的同時會否過切齒槽底面則沒有保證，甚至造成組成齒槽的兩側(cè)齒面完全分離，故提出了讓大直徑盤銑刀先側(cè)傾后前傾的刀位主動控制方法，保證刀尖在端銑齒面的同時不會切入齒槽底面。由于刀具姿態(tài)角設置順序的改變，造成前傾轉(zhuǎn)動軸線方向的變化。刀具前傾軸線方向的推導如下所示。

　　(1)刀具先前傾后側(cè)傾的坐標轉(zhuǎn)換矩陣如式(2)和(3)所示，兩次旋轉(zhuǎn)之后的轉(zhuǎn)換矩陣乘積為，

　　(2) 由于刀具側(cè)傾的轉(zhuǎn)動軸線不變，所以側(cè)傾轉(zhuǎn)換矩陣亦不變，如式(3)所示。

　　(3) 指定刀具在側(cè)傾之后，前傾的轉(zhuǎn)動軸線與標架中的矢量t夾角為θ，如圖3所示。

　　根據(jù)圖3中的幾何關系，前傾軸線的幺矢為，

　　根據(jù)Euller-Rodirgue公式，可以得到刀具側(cè)傾的旋轉(zhuǎn)矩陣，

　　式中，

　　刀具先側(cè)傾后前傾之后，轉(zhuǎn)換矩陣的乘積為，

　　式中，

　　比較L₂₃和L₁₂，可以得出結(jié)論：

　　換言之，刀具齒面切觸點法矢n旋轉(zhuǎn)，形成側(cè)傾角β，然后再繞與t矢量成β角的軸線旋轉(zhuǎn)形成前傾角α，可以保證刀尖軌跡圓和被加工齒面只在切觸點接觸，沒有干涉。

　　2.4 刀具側(cè)傾角

　　為了保證加工齒面的刀尖不會過切齒底，應以切觸點與齒槽底面的距離來計算刀具的側(cè)傾角。

　　由幺矢t和切觸點矢量r_M所決定直線方程為，

　　式中，u為曲線參數(shù)。

　　齒槽底面是齒根圓錐面的一部分，其方程為，

　　式中，(x，y，z)是圓錐面上一點的坐標，是齒輪的根錐角。

　　聯(lián)立方程(10)和(11)，可以確定切觸點沿t負向與齒槽底面的交點，進而確定此交點和切觸點的距離l。

　　由圖3，可以確定刀具側(cè)傾后，刀尖軌跡圓越過切觸點深入齒槽的劣弧弓高為，

　　則側(cè)傾角的計算公式為，

　　2.5 刀具前傾角

　　對于由凸橢圓點構(gòu)成的輪齒凸面，通過讓刀具包絡面和齒面在垂直于切削進給方向的法曲率相等來確定前傾角，可以保證較大的切削帶寬。

　　幺矢t和第一主方向e₁的夾角δ為，

　　然后，利用Euller方程確定齒面的法曲率kt，

　　刀具包絡面的法曲率確定方法如下所示：

　　(1)在初始刀位處，刀尖軌跡圓在ftn標架中的表達式，

　　其中，ψ是刀尖軌跡圓的曲線參數(shù)。

　　(2)刀具經(jīng)側(cè)傾和前傾后，刀尖軌跡圓在標架中的表達式，

　　(3)經(jīng)側(cè)傾和前傾后，刀尖軌跡圓在矢量t和n所構(gòu)成平面中投影線在切觸點的曲率kp為，

　　聯(lián)立(15)和(18)式，可以確定加工凸面時中凹盤銑刀的前傾角α。

　　由于輪齒凹面和凸面曲面結(jié)構(gòu)的不同，凹面加工時，在側(cè)傾角確定后，參考Struz法來確定刀具的前傾角，

　　其中，ε為一定值;對于雙曲點，ke和二主曲率中取正的一致。

　　在刀具的前傾角和側(cè)傾角確定之后，刀位的表達式如下所示：

　　其中，u表示刀軸的幺矢，而p表示刀尖軌跡圓的刀心矢量，r_M是切觸點矢量。

　　3 實驗加工

　　為了驗證所提出加工方法的可行性，以一對弧齒錐齒輪副的大輪為例，利用式(20)和(21)中刀位，后置處理編寫數(shù)控程序，在DMU100型五軸立式加工中心上進行了實驗加工，輪齒凸面7次切削完成加工，凹面6次完成加工。

　　弧齒錐齒輪大輪的基本幾何參數(shù)和加工參數(shù)如表1所示：

　　中凹盤銑刀加工算例弧齒錐齒輪大輪的瞬間如圖4所示。加工完成的弧齒錐齒輪大輪如圖5所示，齒面光滑連續(xù)，光潔度好。

　　4 結(jié)論

　　本文提出的中凹盤銑刀端銑數(shù)控加工弧齒錐齒輪的方法，將平底刀高效率端銑曲面的成果應用于加工弧齒錐齒輪，先設置刀具側(cè)傾角以避開干涉，再設置刀具前傾角保證大的切削帶寬，并通過數(shù)控加工實驗，說明了該方法的可行性。這種加工方法具有刀具耐用度高、采用通用5軸數(shù)控機床、切削帶寬大，加工效率高等優(yōu)點，而且通過合理的刀具結(jié)構(gòu)設計和刀位確定方法，可以避開刀具和齒槽的干涉，尤其對大規(guī)格弧齒錐齒輪的加工具有重要意義。

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